Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp

By Chán Vkl On Nov 25, 2022

Bài tập Toán 9: giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp chung giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định ( nếu có) của phương trình
Bước 2: Nhận dạng bài toán để sử dụng biểu thức liên hợp thích hợp
Bước 3: Thêm bớt các biểu thức hoặc các hằng số để tìm được nhân tử chung của các biểu thức trong phương trình
Bước 4: Đặt nhân tử chung
Bước 5: Sử dụng các phương pháp biến đổi cơ bản để tìm nghiệm của phương trình
Bước 6: Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm của phương trình

Ta có các biểu thức liên hợp thường dùng:

1. $sqrt A pm sqrt B = dfrac{{A mp B}}{{sqrt A pm sqrt B }}$ ( với mọi A, B lớn hơn 0 và $A ne B$ )

2. $sqrt[3]{A} pm sqrt[3]{B} = dfrac{{A mp B}}{{sqrt[3]{{{A^2}}} pm sqrt[3]{{AB}} + sqrt[3]{{{B^2}}}}}$ ( với mọi A, B)

3. $sqrt[4]{A} pm sqrt[4]{B} = dfrac{{A mp B}}{{left( {sqrt[4]{A} + sqrt[4]{B}} right)left( {sqrt A + sqrt B } right)}}$ ( với mọi A, B lớn hơn 0 và $A ne B$ )

2. Bài tập giải phương trình vô tỷ

Hướng dẫn giải:

1. $sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} = sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + sqrt {{x^2} - x + 2}$

ĐKXĐ: $left{ begin{array}{l} 2{x^2} - 1 ge 0\ {x^2} - 3x - 2 ge 0 end{array} right.$

Khi đó: $sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} = sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + sqrt {{x^2} - x + 2}$

$begin{array}{l}sqrt {2{x^2} - 1} - sqrt {2{x^2} + 2x + 3} = sqrt {{x^2} - x + 2} - sqrt {{x^2} - 3x - 2} \ Leftrightarrow dfrac{{left( {sqrt {2{x^2} - 1} - sqrt {2{x^2} + 2x + 3} } right)left( {sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} } right)}}{{sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }}\ = dfrac{{left( {sqrt {{x^2} - x + 2} - sqrt {{x^2} - 3x - 2} } right)left( {sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} } right)}}{{sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}\ Leftrightarrow dfrac{{left( {2{x^2} - 1 - 2{x^2} - 2x - 3} right)}}{{sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} = dfrac{{left( {{x^2} - x + 2 - {x^2} + 3x + 2} right)}}{{sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}end{array}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow dfrac{{left( { - 4 - 2x} right)}}{{sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} = dfrac{{left( {2x + 4} right)}}{{sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}\ Leftrightarrow left( {2x + 4} right)left[ {dfrac{1}{{sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} + dfrac{1}{{sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} }}} right] = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left( {2x + 4} right) = 0\ dfrac{1}{{sqrt {2{x^2} - 1} + sqrt {2{x^2} + 2x + 3} }} + dfrac{1}{{sqrt {{x^2} - x + 2} + sqrt {{x^2} - 3x - 2} }} = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow x = - 2 end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

2. $sqrt {2{x^2} + 16x + 18} + sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4$

ĐKXĐ: $left{ begin{array}{l} 2{x^2} + 16x + 18 ge 0\ {x^2} - 1 ge 0 end{array} right.$

Khi đó: $sqrt {2{x^2} + 16x + 18} + sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4$

$begin{array}{l}sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 4 - sqrt {2{x^2} + 16x + 18} ,,,,,,,left( 1 right)\sqrt {{x^2} - 1} = dfrac{{left( {2x + 4 - sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } right)left( {2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } right)}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\sqrt {{x^2} - 1} = dfrac{{left[ {{{left( {2x + 4} right)}^2} - sqrt {2{x^2} + 16x + 18} } right]}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\ Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} = dfrac{{4{x^2} + 16x + 16 - 2{x^2} - 16x - 18}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\end{array}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} = dfrac{{2{x^2} - 2}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\ Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} = dfrac{{2left( {{x^2} - 1} right)}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}\ Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} - dfrac{{2left( {{x^2} - 1} right)}}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }} = 0\ Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} left( {1 - dfrac{{2sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }}} right) = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt {{x^2} - 1} = 0\1 - dfrac{{2sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} }} = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = pm 1\2x + 4 + sqrt {2{x^2} + 16x + 18} - 2sqrt {{x^2} - 1} = 0left( 2 right)end{array} right.end{array}$

Giải (2) ta được

Cộng (1) với (2) ta có:

$begin{array}{l}3sqrt {{x^2} - 1} = 4x + 8\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4x + 8 ge 0\{left( {3sqrt {{x^2} - 1} } right)^2} = {left( {4x + 8} right)^2}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4x + 8 ge 0\9left( {{x^2} - 1} right) = 16{x^2} + 64x + 64end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4x + 8 ge 0\7{x^2} + 64x + 73 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge - 2\left[ begin{array}{l}x = dfrac{{ - 32 + 3sqrt {57} }}{7}\x = dfrac{{ - 32 - 3sqrt {57} }}{7}left( l right)end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x = dfrac{{ - 32 + 3sqrt {57} }}{7}end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta được $x = pm 1$ và $x = dfrac{{ - 32 + 3sqrt {57} }}{7}$

3. $left( {sqrt {3x + 1} - sqrt {x + 2} } right)left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 4x - 2$

ĐKXĐ: $x ge dfrac{{ - 1}}{3}$

$begin{array}{l}left( {sqrt {3x + 1} - sqrt {x + 2} } right)left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 4x - 2\ Leftrightarrow dfrac{{left( {sqrt {3x + 1} - sqrt {x + 2} } right)left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)}}{{left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)}}left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 4x - 2\ Leftrightarrow dfrac{{3x + 1 - x - 2}}{{left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)}}left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 4x - 2\ Leftrightarrow dfrac{{2x - 1}}{{left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)}}left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 4x - 2end{array}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow left( {2x - 1} right)left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = left( {4x - 2} right)left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)\ Leftrightarrow left( {2x - 1} right)left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4} right) = 2.left( {2x - 1} right)left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)\ Leftrightarrow left( {2x - 1} right)left( {sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4 - 2.left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right)} right) = 0\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {2x - 1} right) = 0\ sqrt {3{x^2} + 7x + 2} + 4 - 2.left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right) = 0 end{array} right. end{array}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( {2x - 1} right) = 0\sqrt {left( {3x + 1} right)left( {x + 2} right)} + 4 - 2.left( {sqrt {3x + 1} + sqrt {x + 2} } right) = 0end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( {2x - 1} right) = 0\left( {sqrt {3x + 1} . - 2} right)left( {sqrt {x + 2} - 2} right) = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{1}{2}\sqrt {3x + 1} . - 2 = 0\sqrt {x + 2} - 2 = 0end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{1}{2}\sqrt {3x + 1} . = 2\sqrt {x + 2} = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{1}{2}\3x + 1. = 4\x + 2 = 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{1}{2}left( {t/m} right)\x. = 1left( {t/m} right)\x = 2left( {t/m} right)end{array} right.end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = 1, $x = dfrac{1}{2}$ , x = 2

4. $sqrt {{x^2} + 5} + 3x = sqrt {{x^2} + 12} + 5$

$[begin{array}{l}sqrt {{x^2} + 5} + 3x = sqrt {{x^2} + 12} + 5\ Leftrightarrow left( {sqrt {{x^2} + 5} - 3} right) + 3x - 6 + left( {4 - sqrt {{x^2} + 12} } right) = 0\ Leftrightarrow dfrac{{left( {sqrt {{x^2} + 5} - 3} right)left( {sqrt {{x^2} + 5} + 3} right)}}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3left( {x - 2} right) + dfrac{{left( {4 - sqrt {{x^2} + 12} } right)left( {4 + sqrt {{x^2} + 12} } right)}}{{4 + sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\ Leftrightarrow dfrac{{{x^2} + 5 - 9}}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3left( {x - 2} right) - dfrac{{{x^2} - 4}}{{4 + sqrt {{x^2} + 12} }} = 0end{array}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow dfrac{{{x^2} - 4}}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3left( {x - 2} right) - dfrac{{{x^2} - 4}}{{4 + sqrt {{x^2} + 12} }} = 0\ Leftrightarrow left( {x - 2} right)left[ {dfrac{{x + 2}}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3 - dfrac{{x + 2}}{{4 + sqrt {{x^2} + 12} }}} right] = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left( {x - 2} right) = 0\ dfrac{{x + 2}}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}} + 3 - dfrac{{x + 2}}{{4 + sqrt {{x^2} + 12} }} = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = 2 end{array}$

——————————————————————–

Hy vọng tài liệu Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp lớp 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi