Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

By Chán Vkl On Feb 7, 2023

Contents

Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức trọng tâm bài học cũng như áp dụng vào giải toán 10 được thuthuat.tip.edu.vn đăng tải dưới đây, mời các bạn cùng tham khảo.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Cho hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right),overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$ và số thực k. Khi đó:

$begin{array}{l} 1);;;overrightarrow a + overrightarrow b = left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} right);\ 2);;;overrightarrow a - overrightarrow b = left( {{a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2}} right);\ 3);;;koverrightarrow a = left( {k{a_1};k{a_2}} right);\ 4);;;overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}. end{array}$

Ví dụ: Cho hai vectơ $overrightarrow a = left( {1;5} right),overrightarrow b = left( {4; - 2} right)$ . Tìm toạ độ của các vectơ $overrightarrow a + overrightarrow b ,overrightarrow a - overrightarrow b ,3overrightarrow a , - 5overrightarrow b$

Giải

$begin{array}{l} overrightarrow a + overrightarrow b = left( {1 + 4;5 + left( { - 2} right)} right) = left( {5;3} right);\ overrightarrow a - overrightarrow b = left( {1 - 4;5 - left( { - 2} right)} right) = left( { - 3;7} right);\ 3overrightarrow a = left( {3.1;3.5} right) = left( {3;15} right);\ - 5.overrightarrow b = left( { - 5.4; - 5.left( { - 2} right)} right) = left( { - 20;10} right) end{array}$

2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

+ Cho hai điểm $Aleft( {{x_A};{y_A}} right),Bleft( {{x_B};{y_B}} right)$ . Toa độ trung điểm $Mleft( {{x_M};{y_M}} right)$ của đoạn thẳng AB là

${x_M} = frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$

+ Cho tam giác ABC có $Aleft( {{x_A};{y_A}} right),Bleft( {{x_B};{y_B}} right),Cleft( {{x_C};{y_C}} right)$ . Toa độ trọng tâm $Gleft( {{x_G};{y_G}} right)$ của tam giác ABC là:

${x_G} = frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: ${x_E} = frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = frac{{2 + 3}}{2} = frac{5}{2}. Vậy Eleft( {4;frac{5}{2}} right)$

Ta có: ${x_G} = frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = frac{{2 + 6 + 5}}{3} = frac{{13}}{3};{y_G} = frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = frac{{2 + 3 + 5}}{3} = frac{{10}}{3}$

Vậy $Gleft( {frac{{13}}{3};frac{{10}}{3}} right)$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $overrightarrow u = left( {{x_1};{y_1}} right)$ và $overrightarrow v = left( {{x_2};{y_2}} right) thì overrightarrow u .overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; – 1), C(8; 0).

a) Tính $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC}$ và $coswidehat {ABC}$ .

b) Chứng minh $overrightarrow {AB} bot overrightarrow {AC}$ .

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $overrightarrow {BA} = left( {1;3} right),overrightarrow {BC} = left( {7;1} right)$ . Do đó $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10$ .

Mặt khác, ta cũng có:

$begin{array}{l} left| {overrightarrow {BA} } right| = sqrt {{1^2} + {3^2}} = sqrt {10} ,left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {{7^2} + {1^2}} = sqrt {50} ,\ coswidehat {ABC} = cosleft( {overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} } right) = frac{{overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {BA} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|}} = frac{{10}}{{sqrt {10} .sqrt {50} }} = frac{{sqrt 5 }}{5} end{array}$

b) Do $overrightarrow {AB} = left( { - 1; - 3} right)$ và $overrightarrow {AC} = left( {6; - 2} right)$ nên $overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left( { - 1} right).6 + left( { - 3} right).left( { - 2} right) = 0$ .

Vậy $overrightarrow {AB} bot overrightarrow {AC}$ .

c) Do $overrightarrow {AB} bot overrightarrow {AC}$ nên $widehat {BAC} = {90^0}$ , tức là tam giác ABC vuông tại A.

Mà $coswidehat {ABC} = frac{{sqrt 5 }}{5} nên widehat {ABC} approx {63^0}$ . Vì thế $widehat {ACB} approx {90^0} - {63^0} = {27^0}.$

Mặt khác, ta có:

$begin{array}{l} AB = left| {overrightarrow {BA} } right| = sqrt {10} ,\ BC = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {50} = 5sqrt 2 ,\ CA = sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = sqrt {{{left( {5sqrt 2 } right)}^2} - {{left( {sqrt {10} } right)}^2}} = 2sqrt {10} end{array}$

>>>> Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chương 7 Cánh Diều 10 tập 2 do thuthuat.tip.edu.vn tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập Toán 10 đạt kết quả tốt. Tại chuyên mục Lý thuyết Toán 10 CD có đầy đủ các các bài học chia theo từng chương bám sát chương trình học SGK Cánh diều 10 đồng thời tại chuyên mục Giải Toán 10 Cánh Diều Tập 2 có đầy đủ các bài tập do thuthuat.tip.edu.vn biên soạn để giúp bạn ôn luyện tại nhà.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi