Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

By Chán Vkl On Jun 6, 2022

Contents

Rút gọn biểu thức chứa căn thức được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

Để tải đề thi, mời ấn vào đường link sau: Chuyên đề Toán 9 Rút gọn biểu thức

A. Cách rút gọn biểu thức và một số dạng toán liên quan

1) Dạng 1: Rút gọn biểu thức có chứa căn

Phương pháp rút gọn biểu thức

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 4: Khi nào phân thức được tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

2) Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại x = x₀

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A..

Bước 2: Thay giá trị x = x₀ vào biểu thức đã rút gọn rồi tính kết quả.

3) Dạng 3: Tính giá trị của biến x để biểu thức A = k (hằng số)

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A.

Bước 2: Giải phương trình A – k = 0.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện và kết luận.

B. Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$begin{matrix} sqrt {14 + 6sqrt 5 } - sqrt {14 - 6sqrt 5 } hfill \ = sqrt {9 + 2.3sqrt 5 + 5} - sqrt {9 - 2.3sqrt 5 + 5} hfill \ = sqrt {{3^2} + 2.3sqrt 5 + {{left( {sqrt 5 } right)}^2}} - sqrt {{3^2} - 2.3sqrt 5 + {{left( {sqrt 5 } right)}^2}} hfill \ = sqrt {{{left( {3 + sqrt 5 } right)}^2}} - sqrt {{{left( {3 - sqrt 5 } right)}^2}} hfill \ = left| {3 + sqrt 5 } right| - left| {3 - sqrt 5 } right| hfill \ = 3 + sqrt 5 - left( {3 - sqrt 5 } right) hfill \ = 3 + sqrt 5 - 3 + sqrt 5 = 2sqrt 5 hfill \ end{matrix}$

b) Ta có:

$begin{matrix} sqrt {left( {sqrt 5 + 1} right)sqrt {6 - 2sqrt 5 } } = sqrt {left( {sqrt 5 + 1} right)sqrt {{{left( {sqrt 5 } right)}^2} - 2sqrt 5 + {1^2}} } hfill \ = sqrt {left( {sqrt 5 + 1} right)sqrt {{{left( {sqrt 5 - 1} right)}^2}} } hfill \ = sqrt {left( {sqrt 5 + 1} right)left| {sqrt 5 - 1} right|} hfill \ = sqrt {left( {sqrt 5 + 1} right)left( {sqrt 5 - 1} right)} = sqrt {5 - 1} = sqrt 4 = 2 hfill \ end{matrix}$

c) Ta có:

$begin{matrix} dfrac{{15}}{{sqrt 6 - 1}} + dfrac{8}{{sqrt 6 + 2}} + dfrac{6}{{3 - sqrt 6 }} - 9sqrt 6 hfill \ = dfrac{{15left( {sqrt 6 + 1} right)}}{{6 - 1}} + dfrac{{8left( {sqrt 6 - 2} right)}}{{6 - 4}} + dfrac{{6left( {3 + sqrt 6 } right)}}{{9 - 6}} - 9sqrt 6 hfill \ end{matrix}$

$begin{matrix} = dfrac{{15left( {sqrt 6 + 1} right)}}{5} + dfrac{{8left( {sqrt 6 - 2} right)}}{2} + dfrac{{6left( {3 + sqrt 6 } right)}}{3} - 9sqrt 6 hfill \ = dfrac{{15left( {sqrt 6 + 1} right)}}{5} + dfrac{{8left( {sqrt 6 - 2} right)}}{2} + dfrac{{6left( {3 + sqrt 6 } right)}}{3} - 9sqrt 6 hfill \ end{matrix}$

$begin{matrix} = dfrac{{90left( {sqrt 6 + 1} right)}}{{30}} + dfrac{{120left( {sqrt 6 - 2} right)}}{{30}} + dfrac{{60left( {3 + sqrt 6 } right)}}{{30}} - dfrac{{270sqrt 6 }}{{30}} hfill \ = dfrac{{90left( {sqrt 6 + 1} right) + 120left( {sqrt 6 - 2} right) + 60left( {3 + sqrt 6 } right) - 270sqrt 6 }}{{30}} hfill \ = dfrac{{90sqrt 6 + 90 + 120sqrt 6 - 240 + 180 + 60sqrt 6 - 270sqrt 6 }}{{30}} hfill \ = dfrac{{30}}{{30}} = 1 hfill \ end{matrix}$

Hướng dẫn giải

a. $A = frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 5}} - frac{{10sqrt x }}{{x - 25}} - frac{5}{{sqrt x + 5}}$

$begin{matrix} A = dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x - 5}} - dfrac{{10sqrt x }}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} - dfrac{5}{{sqrt x + 5}} hfill \ A = dfrac{{sqrt x left( {sqrt x + 5} right)}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} - dfrac{{10sqrt x }}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} - dfrac{{5left( {sqrt x - 5} right)}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} hfill \ end{matrix}$

$begin{matrix} A = dfrac{{sqrt x left( {sqrt x + 5} right) - 10sqrt x - 5left( {sqrt x - 5} right)}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} hfill \ A = dfrac{{x + 5sqrt x - 10sqrt x - 5sqrt x + 25}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} hfill \ A = dfrac{{x - 10sqrt x + 25}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} = dfrac{{{{left( {sqrt x - 5} right)}^2}}}{{left( {sqrt x - 5} right)left( {sqrt x + 5} right)}} = dfrac{{sqrt x - 5}}{{sqrt x + 5}} hfill \ end{matrix}$

b. Thay x = 9 vào biểu thức ta có: $A = frac{{sqrt 9 - 5}}{{sqrt 9 + 5}} = frac{{3 - 5}}{{3 + 5}} = frac{{ - 2}}{8} = - frac{1}{4}$

Kết luận khi x = 9 thì $A = - frac{1}{4}$

c. Ta có:

$begin{matrix} A = dfrac{1}{2} Leftrightarrow dfrac{{sqrt x - 5}}{{sqrt x + 5}} = dfrac{1}{2} hfill \ Leftrightarrow sqrt x + 5 + 2left( {sqrt x - 5} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow sqrt x + 5 + 2sqrt x - 10 = 0 hfill \ Leftrightarrow 3sqrt x - 5 = 0 hfill \ Leftrightarrow sqrt x = dfrac{5}{3} Rightarrow x = dfrac{{25}}{9} hfill \ end{matrix}$

Kết luận A = 2 khi $x = frac{{25}}{9}$

Hướng dẫn giải

a. Thay x = 8 vào H ta có: $H = frac{{8 - sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = frac{{8 - 2}}{7} = frac{6}{7}$

b. Ta có:

$begin{matrix} P = H + K hfill \ Rightarrow P = dfrac{{x - sqrt[3]{x}}}{{x - 1}} + dfrac{1}{{sqrt[3]{x} - 1}} + frac{1}{{sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1}} hfill \ P = dfrac{{x - sqrt[3]{x}}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} + dfrac{{sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1}}{{sqrt[3]{x} - 1}} + dfrac{{sqrt[3]{x} - 1}}{{sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1}} hfill \ end{matrix}$

$begin{matrix} P = dfrac{{x - sqrt[3]{x}}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} + dfrac{{sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} + dfrac{{sqrt[3]{x} - 1}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} hfill \ P = dfrac{{x - sqrt[3]{x} + sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1 + sqrt[3]{x} - 1}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} = dfrac{{x + sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x}}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} hfill \ end{matrix}$

$P = frac{{sqrt[3]{x}left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}}{{left( {sqrt[3]{x} - 1} right)left( {sqrt[3]{{{x^2}}} + sqrt[3]{x} + 1} right)}} = frac{{sqrt[3]{x}}}{{sqrt[3]{x} - 1}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$begin{matrix} A = dfrac{{x - 2sqrt x }}{{xsqrt x - 1}} + dfrac{{sqrt x + 1}}{{xsqrt x + x + sqrt x }} + dfrac{{1 + 2x - 2sqrt x }}{{{x^2} - sqrt x }} hfill \ A = dfrac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} hfill \ end{matrix}$

b) Cách 1: Với x > 0, x ≠ 1 $Rightarrow x + sqrt x + 1 > sqrt x + 1 > 1$

Vậy $0 < A Rightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} < frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x + 1}} = 1 + frac{1}{{sqrt x + 1}} < 2$

Vì A nguyên nên A = 1 $Leftrightarrow frac{{sqrt x + 2}}{{x + sqrt x + 1}} = 1 Leftrightarrow x = 1left( {ktm} right)$

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

C. Bài tập tự rèn luyện Rút gọn biểu thức

Bài 1:

a) $left( {1 - frac{{sqrt 5 + 5}}{{1 + sqrt 5 }}} right)left( {frac{{5 - sqrt 5 }}{{1 - sqrt 5 }} - 1} right)$

b) $frac{{3 + 2sqrt 3 }}{{sqrt 3 }} + frac{{2 + sqrt 2 }}{{1 + sqrt 2 }} - left( {2 + sqrt 3 } right)$

c) $sqrt {5 - 2sqrt 6 } - sqrt {{{left( {sqrt 2 - 5sqrt 3 } right)}^2}}$

d) $sqrt {{{left( {1 - sqrt 3 } right)}^2}} + sqrt {4 - 2sqrt 3 }$

e) $sqrt {sqrt {15} - 6sqrt 6 } + sqrt {33 - 12sqrt 6 }$

f) $frac{{sqrt 2 }}{{1 + sqrt 2 - sqrt 3 }} - frac{{sqrt 6 }}{{sqrt 2 + sqrt 3 - sqrt 5 }}$

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $M = {left( {frac{{sqrt x }}{2} - frac{1}{{2sqrt x }}} right)^2}left( {frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 1}} - frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}} right)$ với $x > 0;x ne 1$

b) $N = left( {frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 1}} - frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}} + 4sqrt x } right):frac{{2xsqrt x }}{{x - 1}}$ với $x geqslant 0;x ne 9$

c) $P = frac{{x + y}}{{sqrt x + sqrt y }}:left( {frac{{x + y}}{{x - y}} - frac{y}{{y - sqrt {xy} }} + frac{x}{{sqrt {xy} + x}}} right) - frac{{sqrt {{{left( {sqrt x - sqrt y } right)}^2}} }}{2}$ với $y > x > 0$

Bài 3: Cho biểu thức: $B = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} - frac{1}{{sqrt x }}} right):left( {frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 2}} - frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x - 1}}} right)$

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức B có nghĩa.

b) Tính giá trị của biểu thức B biết $x = 9 - 4sqrt 5$

c) Tìm giá trị của x để B dương.

Bài 4: Cho biểu thức: $C = left( {frac{1}{{sqrt x - 2}} + frac{{5sqrt x - 4}}{{2sqrt x - x}}} right):left( {frac{{2 + sqrt x }}{{sqrt x }} - frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 2}}} right)$

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức C có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức C.

c) Tính giá trị của biểu thức C biết $x = frac{{3 - sqrt 5 }}{2}$

Bài 5: Cho biểu thức: $D = frac{3}{{sqrt x + 1}} + frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{6sqrt x - 4}}{{x - 1}}$

a) Tìm điều kiện xác định của D.

b) Rút gọn biểu thức D.

c) Tính giá trị của x để biểu thức D < 0,5.

Bài 6: Cho biểu thức: $E = left( {frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 3}} - frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 3}} - frac{{3x - 3}}{{x - 9}}} right):left( {frac{{2sqrt x - 2}}{{sqrt x - 3}} - 1} right)$

a) Tìm điều kiện xác định của E.

b) Rút gọn biểu thức E.

c) Tính giá trị của x để biểu thức E < -0,5.

Bài 7: Cho biểu thức: $F = left( {frac{{x - 7sqrt x + 12}}{{x - 4sqrt x + 3}} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right).frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x - 3}}$ với $x geqslant 0;x ne 9$

a) Rút gọn biểu thức F.

b) Tìm giá trị của x để F > 0,75.

c) Tìm x để P = 2.

Bài 8: Chứng minh rằng $sqrt {2 - sqrt 3 } + sqrt {2 + sqrt 3 } = sqrt 6$

Bài 9: Cho biểu thức: $A = frac{{{x^2} - sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} - frac{{2sqrt x }}{{sqrt x }} + frac{{2left( {x + 1} right)}}{{sqrt x - 1}}$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

c) Tìm x để biểu thức $B = frac{{2sqrt x }}{A}$ nhận giá trị là số nguyên.

Bài 10: Cho biểu thức: $A = frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 1}};B = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right).frac{{x - sqrt x }}{{2sqrt x + 1}}$

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của A khi $x = 5 + 2sqrt 6$

c) Với $x in mathbb{N},x ne 1$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B.

—–> Một số bài toán liên quan:

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn
Không giải phương trình tính giá trị biểu thức
Chứng minh đẳng thức chứa căn
Tính giá trị của x biết lớp 9
Tính giá trị của biểu thức tại x = a
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Rút gọn biểu thức sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 9, Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, …

———————————————

Tài liệu liên quan:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m². Tìm diện tích vườn lúc đầu.
Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. $widehat {ABD} = widehat {ACD}$ c. CA là tia phân giác của góc SCB.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi