Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (cos 2x – sin x – 1 = 0)
b) (cos xcos 2x = 1 + sin xsin 2x)
c) (4sin xcos xcos 2x = – 1)
d) (tan x = 3cot x)
Giải:
a)
(eqalign{
& cos 2x – sin x – 1 = 0 cr
& Leftrightarrow 1 – 2{sin ^2}x – sin x – 1 = 0 cr
& Leftrightarrow sin x(2sin x + 1) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr
sin x = – {1 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = – {pi over 6} + k2pi ,k in {rm Z} hfill cr
x = {{7pi } over 6} + k2pi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr} )
b)
(eqalign{
& cos xcos 2x = 1 + sin xsin 2x cr
& Leftrightarrow cos xcos 2x – sin xsin 2x = 1 cr
& Leftrightarrow cos 3x = 1 Leftrightarrow 3x = k2pi cr
& Leftrightarrow x = {{k2pi } over 3},k in {rm Z} cr})
c)
(eqalign{
& 4sin xcos xcos 2x = – 1 cr
& Leftrightarrow 2sin 2xcos 2x = – 1 cr
& Leftrightarrow sin 4x = – 1 cr
& Leftrightarrow 4x = – {pi over 2} + k2pi ,k in {rm Z} cr
& Leftrightarrow x = – {pi over 8} + k{pi over 2},k in {rm Z} cr})
d)
(tan x = 3cot x). Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.
Ta có:
(eqalign{
& tan x = {3 over {tan x}} cr
& Leftrightarrow {tan ^2}x = 3 cr
& Leftrightarrow tan x = pm sqrt 3 cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 3} + kpi ,k in {rm Z} cr} )
Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (sin x + 2sin 3x = – sin 5x)
b) (cos 5xcos x = cos 4x)
c) (sin xsin 2xsin 3x = {1 over 4}sin 4x)
d) ({sin ^4}x + {cos ^4}x = – {1 over 2}{cos ^2}2x)
Giải:
a)
(eqalign{
& sin x + 2sin 3x = – sin 5x cr
& Leftrightarrow sin 5x + sin x + 2sin 3x = 0 cr
& Leftrightarrow 2sin 3xcos 2x + 2sin 3x = 0 cr
& Leftrightarrow 2sin 3xleft( {cos 2x + 1} right) = 0 cr
& Leftrightarrow 4sin 3x{cos ^2}x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin 3x = 0 hfill cr
cos x = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
3x = kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = {pi over 2} + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 3},k in {rm Z} hfill cr
x = {pi over 2} + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr} )
b)
(eqalign{
& cos 5xcos x = cos 4x cr
& Leftrightarrow {1 over 2}left( {cos 6x + cos 4x} right) = cos 4x cr
& Leftrightarrow cos 6x = cos 4x cr
& Leftrightarrow 6x = pm 4x + k2pi ,k in {rm Z} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x = k2pi ,k in {rm Z} hfill cr
10x = k2pi ,k in {rm Z} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = k{pi over 5},k in {rm Z} hfill cr} right. cr})
Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập (left{ {l{pi over 5},l in {rm Z}} right}) ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: (x = k{pi over 5},k in {rm Z})
c)
(eqalign{
& sin xsin 2xsin 3x = {1 over 4}sin 4x cr
& Leftrightarrow sin xsin 2xsin 3x = {1 over 2}sin 2xcos 2x cr
& Leftrightarrow sin 2xleft( {cos 2x – 2sin xsin 3x} right) = 0 cr
& Leftrightarrow sin 2xcos 4x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin 2x = 0 hfill cr
cos 4x = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
2x = kpi ,k in {rm Z} hfill cr
4x = {pi over 2} + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in {rm Z} hfill cr
x = {pi over 8} + k{pi over 4},k in {rm Z} hfill cr} right. cr} )
d)
(eqalign{
& {sin ^4}x + {cos ^4}x = – {1 over 2}{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} – 2{sin ^2}x{cos ^2}x = – {1 over 2}{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow 1 – {1 over 2}{sin ^2}2x + {1 over 2}{cos ^2}2x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 + {1 over 2}cos 4x = 0 cr
& Leftrightarrow cos 4x = – 2 cr} )
Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm)
Bài 3.3 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (3{cos ^2}x – 2sin x + 2 = 0)
b) (5{sin ^2}x + 3cos x + 3 = 0)
c) ({sin ^6}x + {cos ^6}x = 4{cos ^2}2x)
d) ( – {1 over 4} + {sin ^2}x = {cos ^4}x)
Giải:
a)
(eqalign{
& 3{cos ^2}x – 2sin x + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 3left( {1 – {{sin }^2}x} right) – 2sin x + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 3{sin ^2}x + 2sin x – 5 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {sin x – 1} right)left( {3sin x + 5} right) = 0 cr
& Leftrightarrow sin x = 1 cr
& Leftrightarrow x = {pi over 2} + k2pi ,k in {rm Z} cr} )
b)
(eqalign{
& 5{sin ^2}x + 3cos x + 3 = 0 cr
& Leftrightarrow 5left( {1 – {{cos }^2}x} right) + 3cos x + 3 = 0 cr
& Leftrightarrow 5{cos ^2}x – 3cos x – 8 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {cos x + 1} right)left( {5cos x – 8} right) = 0 cr
& Leftrightarrow cos x = – 1 cr
& Leftrightarrow x = left( {2k + 1} right)pi ,k in {rm Z} cr} )
c)
(eqalign{
& {sin ^6}x + {cos ^6}x = 4{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^3} – 3{sin ^2}x{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) = 4{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow 1 – {3 over 4}{sin ^2}2x = 4{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow 1 – {3 over 4}left( {1 – {{cos }^2}2x} right) = 4{cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow {{13} over 4}{cos ^2}2x = {1 over 4} cr
& Leftrightarrow 13left( {{{1 + cos 4x} over 2}} right) = 1 cr
& Leftrightarrow 1 + cos 4x = {2 over {13}} cr
& Leftrightarrow cos 4x = – {{11} over {13}} cr
& Leftrightarrow 4x = pm arccos left( { – {{11} over {13}}} right) + k2pi ,k in {rm Z} cr
& Leftrightarrow x = pm {1 over 4}arccos left( { – {{11} over {13}}} right) + k{pi over 2},k in {rm Z} cr} )
d)
(eqalign{
& – {1 over 4} + {sin ^2}x = {cos ^4}x cr
& Leftrightarrow – {1 over 4} + {{1 – cos 2x} over 2} = {left( {{{1 + cos 2x} over 2}} right)^2} cr
& Leftrightarrow – 1 + 2 – 2cos 2x = 1 + 2cos 2x + {cos ^2}2x cr
& Leftrightarrow {cos ^2}2x + 4cos 2x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = 0 hfill cr
cos 2x = – 4left( {Vô,,nghiệm} right){rm{ }} hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow 2x = {pi over 2} + kpi ,k in {rm Z} cr
& Leftrightarrow x = {pi over 4} + k{pi over 2},k in {rm Z} cr} )
Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (2tan x – 3cot x – 2 = 0)
b) ({cos ^2}x = 3sin 2x + 3)
c) (cot x – cot 2x = tan x + 1)
Giải
a) (2tan x – 3cot x – 2 = 0) Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0
Ta có
(eqalign{
& {rm{2}}tan x – {3 over {tan x}} – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{tan ^2}x – 2tan x – 3 = 0 cr
& Leftrightarrow tan x = {{1 pm sqrt 7 } over 2} cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = arctan left( {{{1 + sqrt 7 } over 2}} right) + kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = arctan left( {{{1 – sqrt 7 } over 2}} right) + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr})
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
b) ({cos ^2}x = 3sin 2x + 3)
Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
(eqalign{
& 1 = 6tan x + 3left( {1 + {{tan }^2}x} right) cr
& Leftrightarrow 3{tan ^2}x + 6tan x + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow tan x = {{ – 3 pm sqrt 3 } over 3} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = arctan left( {{{ – 3 + sqrt 3 } over 3}} right) + kpi ,k in {rm Z} hfill cr
x = arctan left( {{{ – 3 – sqrt 3 } over 3}} right) + kpi ,k in {rm Z} hfill cr} right. cr} )
c) (cot x – cot 2x = tan x + 1) (1)
Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:
(eqalign{
& left( 1 right) Leftrightarrow {{cos x} over {sin x}} – {{cos 2x} over {sin 2x}} = {{sin x} over {cos x}} + 1 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}x – cos 2x = 2{sin ^2}x + sin 2x cr
& Leftrightarrow 2left( {{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} right) – cos 2x = sin 2x cr
& Leftrightarrow cos 2x = sin 2x cr
& Leftrightarrow tan 2x = 1 cr
& Rightarrow 2x = {pi over 4} + kpi ,k in Z cr
& Rightarrow x = {pi over 8} + k{pi over 2},k in Z cr} )
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi