Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

By Chán Vkl On Mar 9, 2023

Contents

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$Delta = {left[ { - left( {m - 1} right)} right]^2} - 1left( {m - 3} right) = {m^2} - 3m + 4 = {left( {m - frac{3}{2}} right)^2} + frac{7}{4} > 0;forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b) Theo hệ thức Vi – et ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2left( {m - 1} right)} \ {{x_1}.{x_2} = m - 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \ {2{x_1}.{x_2} = 2m - 6} end{array}} right.$

không phụ thuộc vào tham số m

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$begin{matrix} Delta = {left[ { - left( {m - 1} right)} right]^2} - 4.1left( {2m - 5} right) hfill \ Delta = 4{m^2} - 12m + 22 hfill \ Delta = {left( {2m} right)^2} - 2.2m.3 + 9 + 13 = {left( {2m + 3} right)^2} + 12 > 0forall m hfill \ end{matrix}$

Theo giả thiết ta có:

x₁ < 1 < x₂ => $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - 1 < 0} \ {{x_2} - 1 > 0} end{array}} right.$

=> (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

=> x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 < 0 (**)

Từ (*) và (**) ta có:

(2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m

Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài tập 1: Cho phương trình ${x^2} - mx + m - 2 = 0$ (m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bài tập 2: Cho phương trình ${x^2} - left( {2m + 1} right)z + {m^2} + m - 1 = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x₁ – x₂)(2x₂ – x₁) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài tập 3: Cho phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - frac{1}{2} = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các bài tập từ cơ bản đến nâng cao phần Phương trình bậc hai chứa tham số đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m². Tìm diện tích vườn lúc đầu.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi