Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

By Chán Vkl On May 31, 2022

Chứng minh đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Cho đường thẳng (d): y = px + q và parabol (P): y = ax² (a ≠ 0). Để chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị tham số m như sau:

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)

px + q = ax² => ax² – px – q = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để đường thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung với nhau:

Trường hợp 1: (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt (có hai điểm chung phân biệt)

=> Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt

=> ∆ > 0 hoặc ∆’ > 0

Trường hợp 2: (P) tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung)

=> Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép

=> ∆ = 0 hoặc ∆’ = 0

B. Bài tập chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng (d): y = kx – 2

Xét phương trình $frac{{ - {x^2}}}{2} = kx - 2 Leftrightarrow {x^2} + 2kx - 4 = 0left( * right)$

Ta có: $Delta ' = {k^2} + 4 > 0$ với mọi k, suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Giả sử (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Suy ra A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) thì H(x₁; 0); K(x₂; 0). Khi đó

IH² = x₁² + 4

IK² = x₂² + 4

KH² = (x₁ – x₂)²

Theo định lí Vi – ét thì

x₁ . x₂ = -4 nên IH² + IK² = x₁² + x₂² + 8 = KH².

Vậy tam giác IHK vuông tại I.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

${x^2} = mx + 4 Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0$

Ta có:

$Delta = {m^2} + 16 > 0$ với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Theo định lý Vi – ét ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m} \ {{x_1}.{x_2} = - 4} end{array}} right.$

Thay các giá trị vào biểu thức Q ta có:

$Q = frac{{2left( {{x_1} + {x_2}} right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = frac{{2left( {{x_1} + {x_2}} right) + 7}}{{{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}} = frac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}$

Dùng phương pháp miền giá trị hàm số ta dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất của Q là 1, giá trị nhỏ nhất của Q là -1/8 đạt được khi m = 1 và m = -8.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

x² = mx + 1

=> x² – mx – 1 = 0 (1)

∆ = m² + 4 > 0 với mọi giá trị của tham số m

=> (1) có hai nghiệm phân biệt

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)

b) Theo định lý Vi – ét ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m} \ {{x_1}.{x_2} = - 1} end{array}} right.$

Theo bài ra ta có:

M = (y₁ – 1)(y₂ – 1)

M = (x₁² – 1)(x₂² – 1)

M = x₁²x₂² + 2x₁.x₂ – (x₁ + x₂)² + 1 = -m² ≤ 0

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 0 khi m = 0.

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Với mọi giá trị m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi