Bài toán tương giao đường thẳng và parabol

By Chán Vkl On May 17, 2022

Contents

Bài tập Toán 9: Tương giao đồ thị

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách làm bài toán tương giao

Kiến thức cần nhớ:

Khi biện luận số giao điểm của một đường thẳng (d) và parabol (P): y = ax² ta cần chú ý:

a) Nếu đường thẳng (d) là y = m (song song với trục Ox) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào $a{x^2} = m$ .

b) Nếu đường thẳng (d): y = mx + n ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: $a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$ từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình $a{x^2} - mx - n = 0$ bằng cách xét dấu của ∆.

Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì $Aleft( {{x_1};m{x_1} + n} right),Bleft( {{x_2};m{x_2} + n} right)$ khi đó ta có:

$AB = sqrt {{{left( {{x_2} - {x_1}} right)}^2} + {m^2}{{left( {{x_2} - {x_1}} right)}^2}} = sqrt {left( {{m^2} + 1} right)left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} right]}$

Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm x₁; x₂ ta đều quy về định lý Vi – ét

Chú ý: Đường thẳng (d) có hệ số góc đi qua điểm M(x₀; y₀) thì có dạng: $y = aleft( {x - {x_0}} right) + {y_0}$

B. Các bài toán tương giao đường thẳng và parabol

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc a có dạng y = ax + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

${x^2} = ax + 1 Leftrightarrow {x^2} - ax - 1 = 0{text{ }}left( 1 right)$

Vì ∆ = a² + 4 > 0 với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

$Mleft( {{x_1};{y_1}} right),Nleft( {{x_2};{y_2}} right)$ hay $Mleft( {{x_1};a{x_1} + 1} right),Nleft( {{x_2};a{x_2} + 1} right)$ . Theo định lý Vi – ét ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = a} \ {{x_1}.{x_2} = - 1} end{array}} right.$

$begin{matrix} MN = 2sqrt {10} hfill \ Leftrightarrow {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} + {left( {a{x_2} + 1 - a{x_1} - 1} right)^2} = 40 hfill \ Leftrightarrow left( {{a^2} + 1} right){left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} = 40 hfill \ Leftrightarrow left( {{a^2} + 1} right)left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} right] = 40 hfill \ Leftrightarrow left( {{a^2} + 1} right)left( {{a^2} + 4} right) = 40 hfill \ Leftrightarrow {a^2} = 4 Rightarrow a = pm 2 hfill \ end{matrix}$

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$begin{matrix} dfrac{1}{2}{x^2} = x + dfrac{3}{2} hfill \ Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0 hfill \ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \ {x = 3} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Ta có: $yleft( { - 1} right) = frac{1}{2};yleft( 3 right) = frac{9}{2}$ . Vậy tọa độ các giao điểm là $Aleft( { - 1;frac{1}{2}} right);Bleft( {3;frac{9}{2}} right)$

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$begin{matrix} dfrac{1}{2}{x^2} = mx - dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1 hfill \ Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0left( * right) hfill \ end{matrix}$

Để (P) và (d) tại hai điểm phân biệt x₁; x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó $Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 Leftrightarrow m > - 1$

Cách 1: Khi m > -1 ta có:

$begin{matrix} left| {{x_1} - {x_2}} right| = 2 hfill \ Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 hfill \ Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 hfill \ Leftrightarrow 4{m^2} - 4left( {{m^2} - 2m - 2} right) = 4 hfill \ Leftrightarrow 8m = - 4 Leftrightarrow m = - frac{1}{2} hfill \ end{matrix}$

Cách 2: Khi m > -1 ta có:

$begin{matrix} left| {{x_1} - {x_2}} right| = 2 hfill \ Leftrightarrow left| {dfrac{{ - b + sqrt {Delta '} }}{a} - dfrac{{ - b - sqrt {Delta '} }}{{a'}}} right| = 2sqrt {Delta '} = 2sqrt {2m + 2} hfill \ end{matrix}$

Theo yêu cầu bài toán ta có:

$2sqrt {2m + 2} = 2 Leftrightarrow sqrt {2m + 2} = 1 Leftrightarrow m = - frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng (d): $y = frac{2}{m}x - 2$ . Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol là:

$- frac{1}{2}{x^2} = frac{2}{m}x - 2 Leftrightarrow m{x^2} + 4x - 4m = 0$

Ta có: $Delta ' = 4 + 4{m^2} > 0,forall m$

Suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt $Aleft( {{x_1};frac{{ - {x_1}^2}}{2}} right);Bleft( {{x_2};frac{{ - {x_2}^2}}{2}} right)$

$AB = {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} + left( {frac{1}{2}{x_2}^2 - frac{1}{2}{x_1}^2} right) = left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} right]left[ {1 + frac{1}{4}{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2}} right]$

Theo định lí Vi – et ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = dfrac{{ - 4}}{m}} \ {{x_1}.{x_2} = - 4} end{array}} right.$

Vậy $AB = left[ {frac{{16}}{{{m^2}}} + 16} right]left[ {1 + frac{4}{{{m^2}}}} right] > 16 Rightarrow AB > 4$

————————————————

Hy vọng tài liệu Tìm giá trị của m để d cắt P thỏa mãn điều kiện cho trước sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi