Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(y = {x^3} + 3{x^2} – 4)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Giải
a) Tập xác đinh: (D=mathbb R)
Sự biến thiên:
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} + 6x cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = – 2 hfill cr} right. cr} )
– Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { – infty ; – 2} right)) và (left( {0; + infty } right))
– Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-2;0))
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (x=-2;;y_{CĐ}=0)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0;;y_{CT}=-4)
– Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {{x^3} + 3{x^2} – 4} right) = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {{x^3} + 3{x^2} – 4} right) = – infty cr} )
(eqalign{
& y” = 6x + 6 cr
& y” = 0 Leftrightarrow x = – 1 cr} )
Điểm uốn (I(-1;-2))
– Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm (I(-1;-2)) làm tâm đối xứng.
b) (y'(-1)=-3)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại (I(-1;-2)) là:
(y=-3(x+1)+(-2) Leftrightarrow y = – 3x – 5)
c) Đồ thị nhận (I(-1;-2)) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:
(eqalign{
& yleft( { – 1 + x} right) + yleft( { – 1 – x} right) = 2.left( { – 2} right) cr
& Leftrightarrow {left( { – 1 + x} right)^3} + 3{left( { – 1 + x} right)^2} – 4 + {left( { – 1 – x} right)^3} cr&;;;+ 3{left( { – 1 – x} right)^2} – 4 = – 4 cr
& Leftrightarrow – 1 + 3x – 3{x^2} + {x^3} + 3 – 6x + 3{x^2} – 4 – 1 cr&;;;- 3x – 3{x^2} – {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} – 4 = – 4 cr
& Leftrightarrow – 4 = – 4,,forall x cr} )
(Leftrightarrow I(-1;-2)) là tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y = – {x^3} + 3{x^2} – 1).
b) Tùy theo các giá trị của (m), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: ( – {x^3} + 3{x^2} – 1 = m)
Giải
a) TXĐ: (D =mathbb R)
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty cr
& y’ = – 3{x^2} + 6x = – 3xleft( {x – 2} right);cr&y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,yleft( 0 right) = – 1 hfill cr
x = 2;,yleft( 2 right) = 3 hfill cr} right. cr} )
Bảng biến thiên:
Hàm đồng biến trên khoảng ((0;2)), nghịch biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;0} right)) và (left( {2; + infty } right)).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = 0), giá trị cực tiểu (y(0) = -1). Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 2), giá trị cực đại (y(2) = 3).
Đồ thị: (y” = – 6x + 6;,,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 right) = 1)
Xét dấu y”:
(I(1;1)) là điểm uốn của đồ thị
Điểm đặc biệt:
(x = 0 Rightarrow y = – 1)
(x = – 1 Rightarrow y = 3)
b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị ((C)) hàm số (y = – {x^3} + 3{x^2} – 1) với đường thẳng (y = m) cùng phương với trục (Ox).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
– Nếu (m < -1) hoặc (m > 3) thì phương trình có (1) nghiệm;
– Nếu (m = -1) hoặc (m = 3) thì phương trình có (2) nghiệm;
– Nếu (-1 < m < 3) thì phương trình có (3) nghiệm.
Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)(y = {1 over 3}{x^3} – {x^2} – 3x – {5 over 3})
b) (y = {x^3} – 3x + 1)
c) (y = – {1 over 3}{x^3} + {x^2} – 2x – {2 over 3})
d) (y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1)
Gỉải
a) TXĐ: (D =mathbb R)
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr
& y’ = {x^2} – 2x – 3;cr&y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 3 hfill cr} right.;cr&yleft( { – 1} right) = 0;,,yleft( 3 right) = {{ – 32} over 3} cr} )
Bảng biến thiên:
(y” = 2x – 2;,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 right) = – {{16} over 3})
Xét dấu y”
Điểm uốn (Ileft( {1; – {{16} over 3}} right))
Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y = {{ – 5} over 3})
Đồ thị: Đồ thị nhận (Ileft( {1; – {{16} over 3}} right)) làm tâm đối xứng.
b) TXĐ: (D =mathbb R)
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr
& y’ = 3{x^2} – 3;,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 1 hfill cr} right.;cr&,yleft( { – 1} right) = 3;,yleft( 1 right) = – 1 cr} )
Bảng biến thiên:
(y” = 6x;,y” = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 right) = 1)
Xét dấu (y”)
Điểm uốn (I(0;1))
Điểm đặc biệt:(x = 2 Rightarrow y = 3)
Đồ thị: Đồ thị nhận (I(0;1)) làm tâm đối xứng.
c) TXĐ: (D =mathbb R)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty )
(y’ = – {x^2} + 2x – 2 < 0) với mọi (x inmathbb R)
Hàm số nghịch biến trên (mathbb R)
Bảng biến thiên:
(y” = – 2x + 2;,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 right) = – 2)
Xét dấu (y”)
Điểm uốn (I(1;-2))
Điểm đặc biết:(x = 0 Rightarrow y = {{ – 2} over 3})
Đồ thị: Đồ thị nhận (I(1;-2)) làm tâm đối xứng.
d) TXĐ: (D =mathbb R)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty )
(y’ = 3{x^2} – 6x + 3 = 3{left( {x – 1} right)^2} ge 0) với mọi (x inmathbb R)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi (x = 1)
Hàm số đồng biến trên (mathbb R)
Bảng biến thiên:
Xét dấu (y”)
Điểm uốn (I(1;2))
Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y = 1)
Đồ thị: Đồ thị nhận (I(1;2)) làm tâm đối xứng.
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi