Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

By Chán Vkl On Mar 31, 2023

Contents

Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$Delta ' = {m^2} - left( {m - 4} right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} hfill \ Rightarrow {left( {2m - 1} right)^2} - 4{k^2} = - 15 hfill \ Rightarrow left( {2m - 1 - 2k} right)left( {2m - 1 + 2k} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \ {2m - 1 + 2k = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \ {2m - 1 + 2k = 55} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \ {2m - 1 + 2k = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \ {2m - 1 + 2k = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \ {{x_1}{x_2} = m - 4} end{array}} right. hfill \ Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 hfill \ Rightarrow 2left( {{x_1} + {x_2}} right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 hfill \ Rightarrow left( {2{x_1} - 1} right)left( {2{x_2} - 1} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Trường hợp 1: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \ {2{x_2} - 1 = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \ {{x_2} = 8} end{array} Rightarrow m = 4} right.$

Trường hợp 2: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \ {2{x_2} - 1 = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \ {{x_2} = 2} end{array} Rightarrow m = 0} right.$

Trường hợp 3: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \ {2{x_2} - 1 = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \ {{x_2} = 1} end{array} Rightarrow m = - 3} right.$

Trường hợp 4: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \ {2{x_2} - 1 = 5} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \ {{x_2} = 3} end{array} Rightarrow m = 1} right.$

Thử lại kêt quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 hfill \ Rightarrow left( {m + k} right)left( {m - k} right) = - 16 hfill \ end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương. Khi đó ta có:

Ta thấy (m + k) – (m – k) = 2k

=> (m + k) và (m – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích là 16 nên là cùng chẵn

Mặt khác m + k ≥ m – k do đó ta có bảng số liệu như sau:

m + k	8	4	2
m – k	–2	-4	-8
m	3	0	-3

Kiểm tra lại kết quả ta thấy m = -3, m = 0, m = 3 đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Vậy m = -3, m = 0, m = 3 là các giá trị cần tìm.

B. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Bài tập 1: Cho phương trình $bleft( {b + 3} right){x^2} - 2x - left( {b + 1} right)left( {b + 2} right) = 0$ (b là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ

b) Xác định tham số b để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Bài tập 2: Cho phương trình ${x^2} - left( {2m + 3} right)x + 3m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Bài tập 3: Cho phương trình ${x^2} - {m^2}x + m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

C. Chuyên đề Toán 9: Phương trình bậc 2

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m². Tìm diện tích vườn lúc đầu.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

A. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

B. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

C. Chuyên đề Toán 9: Phương trình bậc 2

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu