Tìm m để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất

By Chán Vkl On May 17, 2022

Tìm m để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớn nhất là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Công thức tính khoảng cách

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là:

$d = frac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

B. Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hướng dẫn giải

a) Gọi I(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với điểm m khi đó ta có:

$begin{matrix} m{x_0} + left( {2 - 3m} right){y_0} + m - 1 = 0;forall m hfill \ Leftrightarrow mleft( {{x_0} - 3{y_0} + 1} right) + 2{y_0} - 1 = 0;forall m hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0} \ {2{y_0} - 1 = 0} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = dfrac{1}{2}} \ {{y_0} = dfrac{1}{2}} end{array}} right. Leftrightarrow Ileft( {dfrac{1}{2};dfrac{1}{2}} right) hfill \ end{matrix}$

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d). Ta có: OH ≤ OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H trùng với I ⇔ OI ⊥ (d). Đường thẳng qua O có phương trình: u = ax do

$Ileft( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right) in OI Rightarrow frac{1}{2} = frac{1}{2}a Leftrightarrow a = 1 Rightarrow OI:y = x$

Đường thẳng (d) được viết lại như sau:

$mx + left( {2 - 3m} right)y + m - 1 = 0 Leftrightarrow left( {2 - 3m} right)y = - mx + 1 - m$

+ Nếu $m = frac{2}{3}$ thì đường thẳng (d): $x - frac{1}{2} = 0$ song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là $frac{1}{2}$

+ Nếu $m ne frac{2}{3}$ đường thẳng (d) có thể viết lại: $y = frac{m}{{3m - 2}}x + frac{{m - 1}}{{3m - 2}}$ . Điều kiện để (d) vuông góc với OI là: $frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 Leftrightarrow m = 2 - 3m Leftrightarrow m = frac{1}{2}$

Khi đó khoảng cách $OI = sqrt {{{left( {frac{1}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{1}{2}} right)}^2}} = frac{{sqrt 2 }}{2}$

Vậy $m = frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Ta viết lại:

$left( {{d_1}} right):mleft( {x + y - 2} right) + 1 - y = 0$

Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng d₁ luôn đi qua điểm cố định A(1; 1).

Tương tự viết lại đường thẳng d₂

Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng d₂ luôn đi qua điểm cố định B(-1; 3).

b) Dễ thấy đường thẳng d₁ luôn đu qua điểm cố định A(1; 1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên d₁ thì khoảng cách từ A đến d₁ là PH ≤ PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi:

$P equiv H Leftrightarrow PH bot left( {{d_1}} right)$ . Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng đi qua điểm P(0; 4); A(1; 1) ta có hệ phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a.0 + b = 4} \ {a.1 + b = 1} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}} {b = 4} \ {a = - 3} end{array}} right.$ . Suy ra phương trình đường thẳng PA: y = -3x + 4

Xét đường thẳng $left( {{d_1}} right):mx + left( {m - 1} right)y - 2m + 1 = 0$

+ Nếu m = 1 thì d₁: x – 1 = 0 không thỏa mãn điều kiện.

+ Khi m ≠ 1 thì $left( {{d_1}} right):y = frac{m}{{1 - m}}x + frac{{2m - 1}}{{m - 1}}$ . Điều kiện để $left( {{d_1}} right) bot PA$ là $frac{m}{{1 - m}}.left( { - 3} right) = - 1 Leftrightarrow m = frac{1}{4}$

————————————————

Hy vọng tài liệu Tìm giá trị của m khoảng cách từ M đến đường thẳng d lớn nhất sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi