Tìm m để hàm số đồng biến trên R

By Chán Vkl On Dec 26, 2022

Contents

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, thuthuat.tip.edu.vn xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên R. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến với điều kiện cho trước cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

I. Cách xác định hàm số đồng biến trên R

Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) đơn điệu trên R

B. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên R

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = (m² – 2m).x² + 2mx + 3

Trường hợp 1: m² – 2m = 0 => m = 0 hoặc m = 2

Với m = 0, y’ = 3

=> y’ > 0 với mọi x

Do đó m = 0 thỏa mãn hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$

Với m = 2, y’ = 4x + 3

=> m = 0 không thỏa mãn hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$

Trường hợp 2: m² – 2m ≠ 0 => m ≠ 0 hoặc m ≠ 2

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \ {Delta ' = {m^2} - 3left( {{m^2} - 2m} right) leqslant 0} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \ { - 2{m^2} + 6m leqslant 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 2} \ {m < 0} end{array}} right.} \ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m geqslant 3} \ {m leqslant 0} end{array}} right.} end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m geqslant 3} \ {m < 0} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Vậy $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \ {m geqslant 3} end{array}} right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

Chọn đáp án B

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x² – 6mx + 3

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

$begin{matrix} y' geqslant 0,forall x in mathbb{R} hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3 > 0} \ {{{left( { - 3m} right)}^2} - 9 leqslant 0} end{array}} right. Leftrightarrow 9{m^2} - 9 leqslant 0 Leftrightarrow m in left[ { - 1;1} right] hfill \ end{matrix}$

Vậy m ∈ [-1; 1] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải

Ta có: $y' = 1 + m.frac{x}{{sqrt {{x^2} + 2} }} = frac{{sqrt {{x^2} + 2} + mx}}{{sqrt {{x^2} + 2} }}$

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$begin{matrix} y' geqslant 0,forall x in mathbb{R} hfill \ Leftrightarrow sqrt {{x^2} + 2} + xm geqslant 0,forall x in mathbb{R} hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt 2 geqslant 0,x = 0} \ {m geqslant dfrac{{ - sqrt {{x^2} + 2} }}{x},forall x > 0left( * right)} \ {m leqslant dfrac{{ - sqrt {{x^2} + 2} }}{x},forall x < 0} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Xét $gleft( x right) = frac{{ - sqrt {{x^2} + 2} }}{x}$ có $g'left( x right) = frac{2}{{{x^2}sqrt {{x^2} + 2} }} > 0;forall x ne 0$

Ta có bảng biến thiên:

Do đó từ (*) suy ra $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m geqslant 1} \ {m leqslant 1} end{array} Leftrightarrow - 1 leqslant m leqslant 1} right.$

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là -1; 0; 1

Chọn đáp án D

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y' = 3{x^2} + 4left( {m + 1} right)x - 3m$

Để hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ thì:

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \ {Delta ' leqslant 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1 > 0} \ {4{{left( {m + 1} right)}^2} + 9m} end{array} Leftrightarrow m in left[ { - 4, - frac{1}{4}} right]} right.$

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện xét sự đơn điệu của hàm số

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên $mathbb{R}$ ?

A. $fleft( x right) = {x^4} - 4{x^2} + 4$	B. $fleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} + 10x + 2$
C. $fleft( x right) = - frac{4}{5}{x^5} + frac{4}{3}{x^3} - x$	D. $fleft( x right) = {x^3} + 10x - {cos ^2}x$

Câu 2: Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ . Hỏi hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ khi nào?

A. $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {a = b = c = 0} \ {a < 0,{b^2} - 3ac < 0} end{array}} right.$	B. $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \ {a < 0,{b^2} - 3ac leqslant 0} end{array}} right.$
C. $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \ {a > 0,{b^2} - 3ac leqslant 0} end{array}} right.$	D. $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {a = b = 0,c > 0} \ {a > 0,{b^2} - 3ac geqslant 0} end{array}} right.$

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số $y = fleft( x right) = mcos x + x$ luôn đồng biến trên $mathbb{R}$ .

A. $- 1 leqslant m leqslant 1$	B. $m > frac{{sqrt 3 }}{2}$
C. $m < frac{1}{2}$	D. $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m geqslant 1} \ {m leqslant - 1} end{array}} right.$

Câu 4: Cho hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên $mathbb{R}$

A. $m = 0$	B. $m = -1$
C. $m = -5$	D. $m = -6$

—————————————————————

Trên đây thuthuat.tip.edu.vn đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi

Tìm m để hàm số đồng biến trên R

I. Cách xác định hàm số đồng biến trên R

Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đơn điệu trên R

B. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên R

C. Bài tập tự luyện xét sự đơn điệu của hàm số

Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) đơn điệu trên R