Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

By Chán Vkl On Dec 26, 2022

Contents

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, thuthuat.tip.edu.vn xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (a; b). Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến với điều kiện cho trước cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

A. Tìm m để hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

– Tính y’ = 3ax² + 2bx + c là tam thức bậc hai chứa tham số m

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi y’ = f(x, m) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b)

Cách 1: f(x, m) bậc nhất đối với m, hoặc f(x, m) không có nghiệm chẵn

+ Biến đổi bất phương trình f(x, m) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇔ g(x) ≥ h(m) ∀x ∈ (a, b)

+ Tìm GTLN, GTNN của y = g(x) trên [a, b]

Cách 2: Tham số m trong f(x,m) có chứa bậc 1, bậc 2 hoặc f(x, m) có nghiệm chẵn

+ Tìm tập nghiệm của tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu

+ Gọi S là tập hợp có dấu “thuận lợi”. Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi (a, b) ⊂ S.

B. Tìm m để hàm số trùng phương y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

Phương pháp:

+ Tính y’ = 4ax³ + 2bx => y’ = 0 $Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \ {{x^2} = - dfrac{b}{{2a}}} end{array}} right.$

+ Lập bảng xét dấu y’, giả sử có S là tập “thuận lợi”

+ Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (a, b) ⊂ S

C. Tìm m để hàm phân thức $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}};left( {ad - bc ne 0} right)$ đồng biến trên khoảng (a,b)

Phương pháp:

+ Hàm số $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ đồng biến trên khoảng (a, b) $Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc > 0} \ { - dfrac{d}{c} notin left( {a;b} right)} end{array}} right.$

+ Hàm số $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ nghịch biến trên khoảng (a, b) $Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc < 0} \ { - dfrac{d}{c} notin left( {a;b} right)} end{array}} right.$

D. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn giải

Ta có: $y' = 3{x^2} + m + frac{1}{{{x^6}}}$

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi

$begin{matrix} y' = 3{x^2} + m + dfrac{1}{{{x^6}}} geqslant 0,forall x in left( {0; + infty } right) hfill \ Leftrightarrow 3{x^2} + dfrac{1}{{{x^6}}} leqslant m,forall x in left( {0; + infty } right) hfill \ end{matrix}$

Xét hàm số $gleft( x right) = 3{x^2} + frac{1}{{{x^6}}},forall x in left( {0; + infty } right)$

$begin{matrix} g'left( x right) = - 6x + dfrac{6}{{{x^7}}} = dfrac{{ - 6left( {{x^8} - 1} right)}}{{{x^7}}} hfill \ g'left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \ {x = - 1left( {ktm} right)} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≥ -4

Suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài là -4, -3; -2; -1

Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn

Chọn đáp án D

Hướng dẫn giải

Ta có: y’ = 3x² – 6x + 1 – m

Hàm số y = x³ – 3x²+ (1 – m)x đồng biến trên khoảng (2, +∞) nên y’ ≥ 0 với ∀x ∈ (2, +∞)

Suy ra: 3x² – 6x + 1 ≥ m, ∀x ∈ (2, +∞)

=> $mathop {Minleft( {3{x^2} - 6x + 1} right)}limits_{x in left( {2; + infty } right)} geqslant m Leftrightarrow 1 geqslant m$

Vậy m ∈ (-∞; 1] thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án D

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = mathbb{R}backslash left{ { - m} right}$

Ta có: $y' = frac{{m - 3}}{{{{left( {x + m} right)}^2}}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -6) ta có:

y’ > 0 ∀x ∈ (-∞; -6)

$Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 > 0} \ { - m notin left( { - infty ; - 6} right)} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 3} \ { - m geqslant - 6} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 3} \ {m leqslant 6} end{array} Leftrightarrow } right.3 < m leqslant 6$

Vậy m ∈ (3; 6] thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải

Tập điều kiện: x ≠ m

Ta có: $y' = frac{{ - {m^2} + 4}}{{{{left( {x - m} right)}^2}}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) thì

$Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0} \ {m notin left( {0; + in } right)} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} { - {m^2} + 4 > 0} \ {m leqslant 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} { - 2 < m < 2} \ {m leqslant 0} end{array} Leftrightarrow - 2 < m leqslant 0} right.$

Do m là số nguyên nên m = -1 hoặc m = 0

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện đề bài

Hướng dẫn giải

Đặt tanx = t. Với x = 0 => t = 0 với $x = frac{pi }{4} Rightarrow t = 1$

Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = frac{{t - 2}}{{t - m}}$ đồng biến trên (0; 1)

Hàm số phân thức hữu tỉ đồng biến

$y' > 0 Leftrightarrow frac{{2 - m}}{{{{left( {1 - m} right)}^2}}} > 0 Leftrightarrow m > 2$

Ngoài ra hàm phân thức có điều kiện tồn tại $x ne m$

=> m không thuộc khoảng chứa x $Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m leqslant 0} \ {m geqslant 1} end{array}} right.$

Kết hợp 2 điều kiện trên ta được $left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m leqslant 0} \ {1 leqslant m leqslant 2} end{array}} right.$

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng $left[ {1; + infty } right)$

$begin{matrix} Leftrightarrow y' = dfrac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}} leqslant 0,forall x geqslant 1 hfill \ Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 leqslant 0 hfill \ Leftrightarrow mleft( {{x^2} + 4x} right) leqslant - 14,forall x geqslant 1 hfill \ Leftrightarrow uleft( x right) = frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} geqslant m,forall x geqslant 1 hfill \ Rightarrow mathop {Minuleft( x right)}limits_{x geqslant 1} geqslant m hfill \ end{matrix}$

Ta có

$u'left( x right) = frac{{14left( {2x + 4} right)}}{{{{left( {{x^2} + 4x} right)}^2}}} > 0,forall x geqslant 1$

=> u(x) đồng biến trên nửa khoảng $left[ {1; + infty } right)$

$Rightarrow mathop {min uleft( x right)}limits_{x geqslant 1} = uleft( 1 right) = frac{{ - 14}}{5} geqslant m$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y' = - {x^2} + 2left( {m - 1} right)x + left( {m + 3} right) geqslant 0,forall x in left( {0;3} right)$

Do y’(x) liên tục tại x = 0 và x = 3

$begin{matrix} Rightarrow y'left( x right) geqslant 0,forall x in left( {0;3} right) hfill \ Rightarrow y'left( x right) geqslant 0,forall x in left[ {0;3} right] hfill \ Leftrightarrow m.left( {2x + 1} right) geqslant {x^2} + 2x - 3,forall x in left[ {0;3} right] hfill \ Leftrightarrow gleft( x right) = dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} leqslant m,forall x in left[ {0;3} right] hfill \ Leftrightarrow mathop {max gleft( x right)}limits_{x in left[ {0;3} right]} leqslant m hfill \ end{matrix}$

Ta có: $g'left( x right) = frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{left( {2x + 1} right)}^2}}} > 0,forall x in left[ {0;3} right]$

=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 3]

—————————————————————

Trên đây thuthuat.tip.edu.vn đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng (a;b) hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

A. Tìm m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

B. Tìm m để hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

D. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

A. Tìm m để hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)

B. Tìm m để hàm số trùng phương y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) đồng biến trên khoảng (a, b)