Tìm giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

By Chán Vkl On Jul 27, 2022

Xét tính đơn điệu của hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, thuthuat.tip.edu.vn xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Tìm tất cả các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến nghịch biến. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số có cực trị cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến

Hướng dẫn giải

Hàm số $y = {2021^{{x^3} - {x^2} - mx + 1}}$ nghịch biến trên [-1; 2]

$Leftrightarrow y' leqslant 0,,forall x in left[ { - 1,;,2} right]$

$Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - m leqslant 0,,forall x in left[ { - 1;2} right]$

$Leftrightarrow 3{x^2} - 2x leqslant m,,forall x in left[ { - 1;2} right]$

Đặt f(x) = 3x² – 2x; f’(x) = 6x – 2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra f(x) ≤ 8, ∀ x ∈[-1; 2]

=> m ≥ 8

Vì m nguyên và nên có 2015 giá trị m thỏa mãn.

Đáp án B

Hướng dẫn giải

Ta có: $y = {left( {frac{1}{e}} right)^{frac{{x - 4}}{{x - 2m}}}} Rightarrow y' = {left( {frac{{x - 4}}{{x - 2m}}} right)^prime }.{left( {frac{1}{e}} right)^{frac{{x - 4}}{{x - 2m}}}}.ln left( {frac{1}{e}} right)$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) thì y’ < 0, ∀ x ∈(0; 2)

$Leftrightarrow {left( {dfrac{{x - 4}}{{x - 2m}}} right)^prime }.underbrace {{{left( {dfrac{1}{e}} right)}^{dfrac{{x - 4}}{{x - 2m}}}}}_{ > 0,,forall x in left( {0;2} right)}.underbrace {ln left( {dfrac{1}{e}} right)}_{ < 0} < 0,,forall x in left( {0;2} right)$

$Leftrightarrow {left( {frac{{x - 4}}{{x - 2m}}} right)^prime } > 0,forall x in left( {0;2} right),$

$Leftrightarrow frac{{ - 2m + 4}}{{{{left( {x - 2m} right)}^2}}} > 0,,forall x in left( {0;2} right),$

$Leftrightarrow left{ begin{gathered} - 2m + 4 > 0 hfill \ x ne 2m hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m < 2 hfill \ left[ begin{gathered} 2m leqslant 0 hfill \ 2m geqslant 2 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m < 2 hfill \ left[ begin{gathered} m leqslant 0 hfill \ m geqslant 1 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} 1 leqslant m < 2 hfill \ m leqslant 0 hfill \ end{gathered} right.$

Mặt khác, $m in left[ { - 2020;2021} right] Rightarrow m in left[ { - 2020;0} right] cup left[ {1;2} right)$

Vì $m in mathbb{Z} Rightarrow m in left{ {1;0; - 1; - 2;...; - 2020} right}$

=> Có 2022 giá trị nguyên của m

Đáp án B

Hướng dẫn giải

Ta có $y' = left[ {left( {{m^2} - 2m} right){x^2} + 2mx + 3} right] cdot {{text{e}}^{frac{1}{3}left( {{m^2} - 2m} right){x^3} + m{x^2} + 3x}}$

Hàm số đồng biến trên R

$Leftrightarrow gleft( x right) = left( {{m^2} - 2m} right){x^2} + 2mx + 3 geqslant 0,forall x in mathbb{R}$

Nếu m = 0, ta có g(x) = 3 > 0 nên m = 0 (thỏa mãn)

Nếu m = 2, hàm số g(x) = 4x + 3

Bảng xét dấu

Suy ra $gleft( x right) geqslant 0 Leftrightarrow x geqslant frac{3}{4}$ nên m = 2 (không thỏa mãn)

Với $left{ begin{gathered} m ne 0 hfill \ m ne 2 hfill \ end{gathered} right.$ . Ta có

$gleft( x right) geqslant 0,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow left{ begin{gathered} {m^2} - 2m > 0 hfill \ {m^2} - 3left( {{m^2} - 2m} right) leqslant 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} left[ begin{gathered} m < 0 hfill \ m > 2 hfill \ end{gathered} right. hfill \ left[ begin{gathered} m leqslant 0 hfill \ m geqslant 3 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} m < 0 hfill \ m geqslant 3 hfill \ end{gathered} right.$

=> $m in left{ { - 10, - 9, ldots - 1,0} right} cup left{ {3,4,5, ldots 9,10} right}$

Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án B

Hướng dẫn giải

Ta có $y' = left( {{x^2} + mx - 6{m^2}} right) cdot {{text{2}}^{frac{1}{3}{x^3} + frac{m}{2}{x^2} - 6{m^2}x + 2022}} cdot ln 2$

Hàm số đồng biến trên R

$Leftrightarrow gleft( x right) = {x^2} + mx - 6{m^2} geqslant 0,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow Delta leqslant 0 Leftrightarrow 25{m^2} leqslant 0 Leftrightarrow m = 0$

+ Phương trình $gleft( x right) = 0 Leftrightarrow {x^2} + mx - 6{m^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 2m hfill \ x = - 3m. hfill \ end{gathered} right.$

Ta xét các trường hợp:

TH1: 2m = -3m => m = 0. Khi đó $gleft( x right) = {x^2} geqslant 0,forall x in mathbb{R}$

=> m = 0 (thỏa mãn)

TH2: 2m > -3m => m > 0.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; -3m) và (2m; +∞)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 3) khi

$left[ begin{gathered} left( {2;3} right) subset left( { - infty ; - 3m} right) hfill \ left( {2;3} right) subset left( {2m; + infty } right) hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} - 3m geqslant 3 hfill \ 2m leqslant 2 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} m leqslant - 1 hfill \ m leqslant 1 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow m leqslant 1.$

Kết hợp cùng điều kiện: 0 < m ≤ 1

TH3: 2m < -3m => m < 0.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên (-∞; 2m) và (-3m; +∞)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 3) khi

$left[ begin{gathered} left( {2;3} right) subset left( { - infty ;2m} right) hfill \ left( {2;3} right) subset left( { - 3m; + infty } right) hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} 2m geqslant 3 hfill \ - 3m leqslant 2 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} m geqslant frac{3}{2} hfill \ m geqslant - frac{2}{3} hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow m geqslant - frac{2}{3}.$

So với điều kiện, ta nhận $frac{{ - 2}}{3} leqslant m < 0$

Vậy $- frac{2}{3} leqslant m leqslant 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Do $m in mathbb{Z}$ nên m = 0 hoặc m = 1

Đáp án B

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định với mọi $x in mathbb{R}$ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + 2(m + 1)x + {m^2} + 2m + 4 geqslant 0} \ {x - m + sqrt {2{x^2} + 1} > 0} end{array}} right.$ luôn đúng với mọi $x in mathbb{R}$

Ta có:

${x^2} + 2(m + 1)x + {m^2} + 2m + 4 = left[ {x + left( {m + 1} right)} right]_{}^2 + 3 > 0,forall x in mathbb{R}$

Ta có:

$x - m + sqrt {2{x^2} + 1} > 0,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow x + sqrt {2{x^2} + 1} > m,forall x in mathbb{R}$

Xét hàm số $f(x) = x + sqrt {2{x^2} + 1}$ với $x in mathbb{R}$ có

${f^prime }(x) = 1 + frac{{2x}}{{sqrt {2{x^2} + 1} }};{f^prime }(x) = 0 Leftrightarrow x = frac{{ - 1}}{{sqrt 2 }}$

Xét bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy để $x + sqrt {2{x^2} + 1} > m,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow frac{{sqrt 2 }}{2} > m$

Kết hợp điều kiện $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {m in mathbb{Z}} \ {m in ( - 2019;2019)} end{array} Rightarrow m in { - 2018, - 2017, - 2016, ldots , - 1,0} } right.$

Kết luận: có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Đáp án D

—————————————————————

Trên đây thuthuat.tip.edu.vn đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm tham số m để hàm số thỏa mãn điều kiện, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi