Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: (fleft( x right) = {sin ^4}x + {cos ^4}x)
Giải
TXĐ: (D=mathbb R)
(eqalign{
& fleft( x right) = {left( {{{sin }^2}x} right)^2} + {left( {{{cos }^2}x} right)^2} + 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr&,,,,,,,,,,,;;;;- 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr
& ,,,,,,,,,,,;; = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} – 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr&,,,,,,,,,,,;;= 1 – {1 over 2}{sin ^2}2x cr} )
Vì (0 le {sin ^2}2x le 1) nên: (,,fleft( x right) le 1) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( 0 right) = 1). Vậy (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in {mathbb {R}}} = 1)
(*,,,fleft( x right) ge {1 over 2}) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( {{pi over 4}} right) = 1 – {1 over 2} = {1 over 2})
Vậy (mathop {min fleft( x right)}limits_{x in {mathbb {R}}} = {1 over 2}).
Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) (fleft( x right) = {x^2} + 2x – 5) trên đoạn (left[ { – 2;3} right]);
b) (fleft( x right) = {{{x^3}} over 3} + 2{x^2} + 3x – 4) trên đoạn (left[ { – 4;0} right]);
c) (fleft( x right) = x + {1 over x}) trên đoạn (left( {0; + infty } right));
d) (fleft( x right) = – {x^2} + 2x + 4) trên đoạn (left[ {2;4} right]);
e) (fleft( x right) = {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}}) trên đoạn (left[ {0;1} right]);
f) (fleft( x right) = x – {1 over x}) trên đoạn (left( {0;2} right]);
Giải
a) (D = left[ { – 2;3} right];f’left( x right) = 2x + 2;f’left( x right) = 0)
(Leftrightarrow x=- 1 in left[ { – 2;3} right])
Ta có: (fleft( { – 2} right) = – 5;fleft( { – 1} right) = – 6;fleft( 3 right) = 10).
Vậy: (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 2;3} right]} = – 6;,,,,,,mathop {max ,fleft( x right) = 10}limits_{x in left[ { – 2;3} right]} ).
b)
(D = left[ { – 4;0} right];,f’left( x right) = {x^2} + 4x + 3;f’left( x right) = 0)
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 in left[ { – 4;0} right] hfill cr
x = – 3 in left[ { – 4;0} right] hfill cr} right.)
Ta có: (fleft( { – 4} right) = – {{16} over 3};fleft( { – 1} right) = – {{16} over 3};)
(fleft( { – 3} right) = – 4;fleft( 0 right) = – 4)
Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 4;0} right]} = – {{16} over 3};,,mathop {max ,fleft( x right)}limits_{x in left[ { – 4;0} right]} = – 4).
c) (D = left( {0; + infty } right);f’left( x right) = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}})với mọi (x ne 0,f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x = pm 1)
(x=1in left{ {0; + infty } right.))
(x=-1notin left{ {0; + infty } right.))
(mathop {min ,,fleft( x right) = fleft( 1 right)}limits_{x in left( {0; + infty } right)} = 2). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (left( {0; + infty } right)).
d) (D = left[ {2;4} right];f’left( x right) = – 2x + 2;f’left( x right) = 0 )
(Leftrightarrow x = 1 notin left[ {2;4} right])
Ta có: (fleft( 2 right) = 4;fleft( 4 right) = – 4)
Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ {2;4} right]} = – 4;,) (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in left[ {2;4} right]} = 4).
e)
(D = left[ {0;1} right];f’left( x right) = {{2{x^2} + 8x + 6} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}};f’left( x right) = 0)
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 notin left[ {0;1} right] hfill cr
x = – 3 notin left[ {0;1} right] hfill cr} right.)
Ta có: (fleft( 0 right) = 2;fleft( 1 right) = {{11} over 3})
Vậy (mathop {min ,fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;1} right]} = 2;) (mathop {max fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;1} right]} = {{11} over 3})
f) (D = left( {0;2} right];f’left( x right) = 1 + {1 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x in left( {0;2} right];fleft( 2 right) = {3 over 2})
(mathop {,max fleft( x right)}limits_{x in left[ {0;2} right]} = {3 over 2}) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên (left( {0;2} right]).
Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) (y = 2{sin ^2}x + 2sin x – 1)
b) (y = {cos ^2}2x – sin xcos x + 4)
Giải
a) Đặt (t = sin x, – 1 le t le 1)
(y = fleft( t right) = 2{t^2} + 2t – 1)
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = fleft( t right)) trên đoạn (left[ { – 1;1} right]). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (mathbb R).
(f’left( t right) = 4t + 2;f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = – {1 over 2})
Ta có: (fleft( { – 1} right) = – 1;fleft( { – {1 over 2}} right) = – {3 over 2};fleft( 1 right) = 3)
(mathop {min ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]} = – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]} = 3)
Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = 3).
b) Ta có: (y = 1 – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 4)
(= – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 5)
Đặt (t = sin 2x, – 1 le t le 1)
(y = fleft( t right) = – {t^2} – {1 over 2}t + 5;f’left( t right) = – 2t – {1 over 2};)
(f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = – {1 over 4} in left[ { – 1;1} right])
Ta có: (fleft( { – 1} right) = {9 over 2};fleft( { – {1 over 4}} right) = {{81} over {16}};fleft( 1 right) = {7 over 2})
(mathop {min ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]} = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,fleft( t right)}limits_{t in left[ { – 1;1} right]} = {{81} over {16}})
Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = {{81} over {16}}).
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi