Bài 11 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (fleft( x right) = {1 over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1);
b) (fleft( x right) = {1 over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10)
c) (fleft( x right) = x + {1 over x});
d) (fleft( x right) = left| x right|left( {x + 2} right);)
e) (fleft( x right) = {{{x^5}} over 5} – {{{x^3}} over 3} + 2);
f) (fleft( x right) = {{{x^2} – 3x + 3} over {x – 1}})
Giải
a) TXĐ: (D=mathbb R)
(f’left( x right) = {x^2} + 4x + 3;,f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = – 3 hfill cr} right.;)
(fleft( { – 1} right) = – {7 over 3};,fleft( { – 3} right) = – 1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = – 3), giá trị cực đại của hàm số là (fleft( { – 3} right) = – 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = – 1), giá trị cực tiểu của hàm số là (fleft( { – 1} right) = – {7 over 3})
b) TXĐ: (D=mathbb R)
(f’left( x right) = {x^2} – 2x + 2 > 0) với mọi (x inmathbb R) (vì (a > 0,Delta ‘ < 0))
Hàm số đồng biến trên (mathbb R) , không có cực trị.
c) TXĐ: (D = mathbb Rbackslash left{ 0 right})
(f’left( x right) = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}};f’left( x right) = 0)
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,,,;fleft( 1 right) = 2 hfill cr
x = – 1;fleft( { – 1} right) = – 2 hfill cr} right.)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} right) = – 2). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 right) = 2).
d) TXĐ: (D=mathbb R) Hàm số liên tục trên (mathbb R)
(fleft( x right) = left{ matrix{
xleft( {x + 2} right),,,,,,,x ge 0 hfill cr
– xleft( {x + 2} right),,,,,x < 0, hfill cr} right.)
Với (x > 0:,f’left( x right) = 2x + 2 > 0) với mọi (x>0)
Với (x < 0:,f’left( x right) = – 2x – 2)
(,f’left( x right) = 0) ( Leftrightarrow x = – 1); (fleft( { – 1} right) = 1)
Hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} right) = 1). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0), giá trị cực tiểu (fleft( 0 right) = 0)
e) TXĐ: (D=mathbb R)
(f’left( x right) = {x^4} – {x^2} = {x^2}left( {{x^2} – 1} right))
(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 right) = 2 hfill cr
x = – 1;fleft( { – 1} right) = {{32} over {15}} hfill cr
x = 1;fleft( 1 right) = {{28} over {15}} hfill cr} right.)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} right) = {{32} over {15}})
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 right) = {{28} over {15}})
f) TXĐ: (D = {bf{R}}backslash left{ 1 right})
(y’left( x right) = {{left( {2x – 3} right)left( {x – 1} right) – left( {{x^2} – 3x + 3} right)} over {{{left( {x – 1} right)}^2}}} = {{{x^2} – 2x} over {{{left( {x – 1} right)}^2}}})
(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 right) = – 3 hfill cr
x = 2;fleft( 2 right) = 1 hfill cr} right.)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (fleft( 0 right) = – 3)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=2), giá trị cực tiểu (fleft( 2 right) = 1)
Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = xsqrt {4 – {x^2}} ) b) (y = sqrt {8 – {x^2}} )
c) (y = x – sin 2x + 2) d) (y = 3 – 2cos x – cos 2x)
Giải
a) Tập xác định: (D = left[ { – 2;2} right])
(y’ = sqrt {4 – {x^2}} + x.{{ – x} over {sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – {x^2} – {x^2}} over {sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – 2{x^2}} over {sqrt {4 – {x^2}} }})
(y’ = 0 Leftrightarrow 4 – 2{x^2} = 0 Leftrightarrow x = pm sqrt 2 )
(yleft( { – sqrt 2 } right) = – 2;yleft( {sqrt 2 } right) = 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = – sqrt 2 ); giá trị cực tiểu (yleft( { – sqrt 2 } right) = – 2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = sqrt 2 ); giá trị cực đại (yleft( {sqrt 2 } right) = 2)
b) TXĐ: (D = left[ { – 2sqrt 2 ;2sqrt 2 } right])
(y’ = {{ – x} over {sqrt {8 – {x^2}} }};,y’ = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 right) = 2sqrt 2 )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (yleft( 0 right) = 2sqrt 2 )
c) Áp dụng quy tắc 2.
TXĐ: (D=mathbb R)
(,y’ = 1 – 2cos 2x;)
(y’ = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi over 3} )
(Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb {Z}})
(y” = 4sin 2x)
* Ta có: (y”left( {{pi over 6} + kpi } right) = 4sin left( { – {pi over 3}} right) = – 2sqrt 3 < 0)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x = – {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại
(yleft( { – {pi over 6} + kpi } right) = – {pi over 6} + kpi + {{sqrt 3 } over 2} + 2)
(y”left( {{pi over 6} + kpi } right) = 4sin left( {{pi over 3}} right) = 2sqrt 3 > 0).
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x = {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực tiểu:
(yleft( {{pi over 6} + kpi } right) = {pi over 6} + kpi – {{sqrt 3 } over 2} + 2)
d) Áp dụng quy tắc 2.
(,y’ = 2sin x + 2sin 2x = 2sin xleft( {1 + 2cos x} right);)
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr
cos x = – {1 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = pm {{2pi } over 3} + 2kpi hfill cr} right.)
(y” = 2cos x + 4cos 2x.)
(y”left( {kpi } right) = 2cos kpi + 4cos 2kpi )
(= 2cos kpi + 4 > 0) với mọi (k in {mathbb{Z}})
Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm (x = kpi ), giá trị cực tiểu:
(yleft( {kpi } right) = 3 – 2cos kpi – cos 2kpi = 2 – 2cos kpi )
(y”left( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } right) = 2cos {{2pi } over 3} + 4cos {{4pi } over 3} )
(= 6cos {{2pi } over 3} = – 3 < 0.)
Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm (x = pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại:
(yleft( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } right) = 3 – 2cos {{2pi } over 3} – cos {{4pi } over 3} = {9 over 2}).
Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các hệ số (a, b, c, d) của hàm số: (fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) sao cho hàm số (f) đạt cực tiểu tại điểm (x = 0,fleft( 0 right) = 0) và đạt cực đại tại điểm (x = 1,fleft( 1 right) = 1.)
Giải
Ta có: (f’left( x right) = 3a{x^2} + 2bx + c)
(f) đạt cực tiểu tại điểm (x=0) nên (f’left( 0 right) = 0 Rightarrow c = 0)
(fleft( 0 right) = 0 Rightarrow d = 0). Vậy (fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2})
(f) đạt cực đại tại điểm (x=1) nên (f’left( 1 right) = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0)
(fleft( 1 right) = 1 Rightarrow a + b = 1)
Ta có hệ phương trình:
(left{ matrix{
3a + 2b = 0 hfill cr
a + b = 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
a = – 2 hfill cr
b = 3 hfill cr} right.)
Thử lại với (a=-2, b=3, c=d=0) ta được:
(fleft( x right) = – 2{x^3} + 3{x^2};,,,,,,,f’left( x right) = – 6{x^2} + 6x;)
(f”left( x right) = – 12x + 6)
(f”left( 0 right) = 6 > 0) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0); (fleft( 0 right) = 0;f”left( 1 right) = – 6 < 0)
Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 1;fleft( 1 right) = 1)
Vậy (a = – 2;b = 3;c = d = 0).
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi