Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a) (y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx – 2) đạt cực tiểu tại x = 1
b) (y = – {1 over 3}({m^2} + 6m){x^3} – 2m{x^2} + 3x + 1) đạt cực đại tại x = -1;
Hướng dẫn làm bài:
a)
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m cr
& y’ = 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 cr} )
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:
(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0Leftrightarrow m = – 3)
Khi đó,
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 3 cr
& y” = 6x;y”(1) = 6 > 0 cr} )
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3
b)
(eqalign{
& y’ = – ({m^2} + 6m){x^2} – 4mx + 3 cr
& y'( – 1) = – {m^2} – 6m + 4m + 3 cr & = ( – {m^2} – 2m – 1) + 4 = – {(m + 1)^2} + 4 cr} )
Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :
(eqalign{
& y'( – 1) = – {(m + 1)^2} + 4 = 0 Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
m = 3 hfill cr
m = – 1 hfill cr} right. cr} )
Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3
(Rightarrow y’’ = 18x + 12)
(Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6 < 0)
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Với m = 1 ta có:
(y’ = – 7{x^2} – 4x + 3 )
(Rightarrow y” = – 14x – 4)
(Rightarrow y”( – 1) = 10 > 0)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.
Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a) (y = {x^4} + ({m^2} – 4){x^2} + 5) có 3 cực trị
b) (y = (m – 1){x^4} – m{x^2} + 3) có đúng một cực trị.
Hướng dẫn làm bài:
a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :
(y’ = 4{x^3} + 2({m^2} – 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} – 4) = 0) có 3 nghiệm phân biệt
(Leftrightarrow {x^2} + {m^2} – 4 = 0) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
(Leftrightarrow 4 – {m^2} > 0 Leftrightarrow – 2 < m < 2)
Vậy với – 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.
b) (y’ = 4(m – 1){x^3} – 2mx = 2x[2(m – 1){x^2} – m{rm{]}})
Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:
(2x[2(m – 1){x^2} – m{rm{] = 0}}) chỉ có nghiệm x = 0
Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ({m over {2(m – 1)}} le 0 Leftrightarrow 0 le m le 1)
Vậy với (0 le m le 1) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm m để hàm số: (y = {1 over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m – 1)x – 2) không có cực trị
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:
(y’ = m{x^2} + 2mx + 2(m – 1) = 0) không có 2 nghiệm phân biệt.
Muốn vậy, phải có:
(eqalign{
& Delta ‘ = {m^2} – 2m(m – 1) = – {m^2} + 2m le 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
m le 0 hfill cr
m ge 2 hfill cr} right. cr} )
Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số: (y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5) luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R
Hướng dẫn làm bài:
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 6(m – 1)x – 3(m + 3) cr
& y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} – 2(m – 1)x – m – 3 = 0 cr} )
Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
( Leftrightarrow Delta ‘ = {(m – 1)^2} + m + 3 = {m^2} – m + 4 ge 0)
Ta thấy tam thức (Delta ‘ = {m^2} – m + 4) luôn dương với mọi (m in R) vì (delta = 1 – 16 = – 15 < 0) và a = 1 > 0.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi