Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
a) (y{rm{ }} = {rm{ }}2{x^{3}} + {rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}36x{rm{ }}-{rm{ }}10) ;
b) (y{rm{ }} = {rm{ }}x{^4} + {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}3) ;
c) (y = x + {1 over x})
d) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3}{left( {1{rm{ }}-{rm{ }}x} right)^{2}});
e) (y = sqrt {{x^2} – x + 1})
Giải:
a) Tập xác định: (D = mathbb R)
(eqalign{
& y’ = 6{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} – 36;y’ = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2left( {y = – 54} right) hfill cr
x = – 3left( {y = 71} right) hfill cr} right. cr} )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại (x = -3) và (y)CĐ (= 71)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2) và (y)CT (= -54)
b) Tập xác định: (D =mathbb R)
(y’ = 4{{rm{x}}^3} + 4{rm{x}} = 4{rm{x}}left( {{x^2} + 1} right));
(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0left( {y = – 3} right))
Bảng biến thiên:
Hàm số có điểm cực tiểu tại (x = 0) và (y)CT (= -3)
c) Tập xác định: (D = mathbb R) { 0 }
(eqalign{
& y’ = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}};y’ = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1left( {y = 2} right) hfill cr
x = – 1left( {y = – 2} right) hfill cr} right. cr})
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại (x = -1), (y)CĐ (= -2)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)CT (= 2)
d) Tập xác định (D = mathbb R)
( y’ = 3{{rm{x}}^2}{left( {1 – x} right)^2} – 2{{rm{x}}^3}left( {1 – x} right) )
(= {x^2}left( {1 – x} right)left( {3 – 5{rm{x}}} right))
(eqalign{
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1left( {y = 0} right) hfill cr
x = {3 over 5}left( {y = {{108} over {3125}}} right) hfill cr
x = 0 hfill cr} right. cr} )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại (x = {3 over 5};y = {{108} over {3125}})
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)CT =( 0)
e) Vì (x^2) –( x + 1 > 0, ∀ ∈ mathbb R) nên tập xác định : (D = mathbb R)
(y’ = {{2{rm{x}} – 1} over {2sqrt {{x^2} – x + 1} }};y = 0 Leftrightarrow x = {1 over 2}left( {y = {{sqrt 3 } over 2}} right))
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = {1 over 2};{y_{CT}} = {{sqrt 3 } over 2})
Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^4} – {rm{ }}2{x^2} + {rm{ }}1) ; (b) y = sin2x – x);
c)(y = sinx + cosx); d)(y{rm{ }} = {rm{ }}{x^5}-{rm{ }}{x^3}-{rm{ }}2x{rm{ }} + {rm{ }}1).
Giải:
a) (y'{rm{ }} = 4{x^3}-{rm{ }}4x{rm{ }} = {rm{ }}4x({x^2} – {rm{ }}1)) ;
(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).
( y” = 12x^2-4).
(y”(0) = -4 < 0) nên hàm số đạt cực đại tại (x = 0),
(y)cđ =( y(0) = 1).
(y”(pm 1) = 8 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = pm1),
(y)ct = (y(pm1)) = 0.
b) (y’ = 2cos2x – 1) ;
(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi)
(Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi .)
(y” = -4sin2x) .
(y”left ( frac{pi }{6} +kpi right )=-4sinleft ( frac{pi }{3} +k2pi right )=-2sqrt{3}<0) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm (x = frac{pi }{6}+ kπ),
(y)cđ =( sin(frac{pi }{3}+ k2π) – frac{pi }{6} – kπ) = (frac{sqrt{3}}{2}-frac{pi }{6}- kπ) , (k ∈mathbb Z).
(y”left ( -frac{pi }{6} +kpi right )=-4sinleft (- frac{pi }{3} +k2pi right )=2sqrt{3}>0) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-frac{pi }{6}+ kπ),
(y)ct = (sin(-frac{pi }{3}+ k2π) + frac{pi }{6} – kπ) =(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{pi }{6} – kπ) , (k ∈mathbb Z).
c) (y = sinx + cosx )= (sqrt{2}sinleft (x+frac{pi }{4} right ));
( y’ )=(sqrt{2}cosleft (x+frac{pi }{4} right )) ;
(y’=0Leftrightarrow cosleft (x+frac{pi }{4} right )=0Leftrightarrow)(x+frac{pi }{4} =frac{pi }{2}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi .)
(y”=-sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} right ).)
(y”left ( frac{pi }{4} +kpi right )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi +frac{pi }{4} right ))
(=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2} +kpi right ))
(=left{ matrix{
– sqrt 2 text{ nếu k chẵn} hfill cr
sqrt 2 text{ nếu k lẻ} hfill cr} right.)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x=frac{pi }{4}+k2pi),
đạt cực tiểu tại các điểm (x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi (kin mathbb{Z}).)
d) (y'{rm{ }} = {rm{ }}5{x^4} – {rm{ }}3{x^2} – {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}({x^2} – {rm{ }}1)(5{x^2} + {rm{ }}2)); (y'{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {x^{2}} – {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} = pm 1).
(y”{rm{ }} = {rm{ }}20{x^{3}} – {rm{ }}6x).
(y”(1) = 14 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1),
(y)ct =( y(1) = -1).
(y”(-1) = -14 < 0) hàm số đạt cực đại tại (x = -1),
(y)cđ = (y(-1) = 3).
Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{left | x right |}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Giải:
Đặt (y=f(x)=sqrt{left | x right |}). Giả sử (x > 0), ta có :
(underset{xrightarrow 0^{+}}{lim}frac{sqrt{x}}{x}=underset{xrightarrow 0^{+}}{lim}frac{1}{sqrt{x}}=+infty .)
Do đó hàm số không có đạo hàm tại (x = 0) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) vì (f(x)=sqrt{left | x right |}geq 0=f(0),forall xinmathbb R).
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi