Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = – 2{x^2} + 7x – 5)
b) (y = {x^3} – 3{x^2} – 24x + 7)
c) (y = {x^4} – 5{x^2} + 4)
d) (y = {(x + 1)^3}(5 – x))
e) (y = {(x + 2)^2}{(x – 3)^3})
Hướng dẫn làm bài:
a) (y = – 2{x^2} + 7x – 5) . TXĐ: R
(eqalign{
& y’ = – 4x + 7,y’ = 0 < = > x = {7 over 4} cr
& y” = – 4 = > y”({7 over 4}) = – 4 < 0 cr} )
Vậy (x = {7 over 4}) là điểm cực đại của hàm số và ({y_{CD}} = {9 over 8})
b) (y = {x^3} – 3{x^2} – 24x + 7) . TXĐ: R
(y’ = 3{x^2} – 6x – 24 = 3({x^2} – 2x – 8))
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 2 hfill cr
x = 4 hfill cr} right.)
Vì (y”( – 2) = – 18 < 0,y”(4) = 18 > 0) nên hàm số đạt cực đại tại x = – 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và yCĐ = y(-2) = 35 ; yCT = y(4) = -73.
c) (y = {x^4} – 5{x^2} + 4)
TXĐ: R
(eqalign{
& = {{2{x^2} – 2{m^2} – {x^2} – 2mx + 3} over {{{(x – m)}^2}}} = {{{x^2} – 2mx – 2{m^2} + 3} over {{{(x – m)}^2}}} cr
& y’ = 4{x^3} – 10x = 2x(2{x^2} – 5) cr} )
$$y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = – sqrt {{5 over 2}} hfill cr
x = sqrt {{5 over 2}} hfill cr} right.$$
Vì (y”( pm sqrt {{5 over 2}} ) = 20 > 0,y”(0) = – 10 < 0)
Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại (x = pm sqrt {{5 over 2}} ) và ta có:
yCĐ = y(0) = 4 , ({y_{_{CT}}} = y( pm sqrt {{5 over 2}} ) = – {9 over 4})
d) TXĐ: R
(y’ = – {(x + 1)^3} + 3{(x + 1)^2}(5 – x) = 2{(x + 1)^2}(7 – 2x))
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = {7 over 2} hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại (x = {7 over 2};{y_{CD}} = y({7 over 2}) = {{2187} over {16}})
e) TXĐ: R
(y’ = 2(x + 2){(x – 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x – 3)^2} = 5x(x + 2){(x – 3)^2})
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 2 hfill cr
x = 0 hfill cr
x = 3 hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108.
Bài 1.12 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = {{x + 1} over {{x^2} + 8}})
b) (y = {{{x^2} – 2x + 3} over {x – 1}})
c) (y = {{{x^2} + x – 5} over {x + 1}})
d) (y = {{{{(x – 4)}^2}} over {{x^2} – 2x + 5}})
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ : R
(y’ = {{{x^2} + 8 – 2x(x + 1)} over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ – {x^2} – 2x + 8} over {{{({x^2} + 8)}^2}}})
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 4 hfill cr
x = 2 hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = – 4 và ({y_{CD}} = y(2) = {1 over 4};{y_{CT}} = y( – 4) = – {1 over 8})
b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.
(y’ = {{{x^2} – 2x – 1} over {{{(x – 1)}^2}}})
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 – sqrt 2 hfill cr
x = 1 + sqrt 2 hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại (x = 1 – sqrt 2 ) và đạt cực tiểu tại (x = 1 + sqrt 2) , ta có:
({y_{CD}} = y(1 – sqrt 2 ) = – 2sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + sqrt 2 ) = 2sqrt 2 )
c) TXĐ: R{-1}
(y’ = {{{x^2} + 2x + 6} over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,forall x ne – 1)
Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.
d) (y = {{{{(x – 4)}^2}} over {{x^2} – 2x + 5}})
Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (( – infty ; + infty ))
(y’ = {{2(x – 4)({x^2} – 2x + 5) – {{(x – 4)}^2}(2x – 2)} over {{{({x^2} – 2x + 5)}^2}}} = {{2(x – 4)(3x + 1)} over {{{({x^2} – 2x + 5)}^2}}})
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {1 over 3} hfill cr
x = 4 hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại (x = – {1 over 3}) , đạt cực tiểu tại x = 4 và ({y_{CD}} = y( – {1 over 3}) = {{13} over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0)
Bài 1.13 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = x – 6root 3 of {{x^2}} )
b) (y = (7 – x)root 3 of {x + 5})
c) (y = {x over {sqrt {10 – {x^2}} }})
d) (y = {{{x^3}} over {sqrt {{x^2} – 6} }})
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ: R
(y’ = 1 – {4 over {root 3 of x }} = {{root 3 of x – 4} over {root 3 of x }})
(y’ = 0 < = > x = 64)
Bảng biến thiên:
Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.
b) Hàm số xác định trên khoảng (( – infty ; + infty )) .
(y’ = – root 3 of {x + 5} + {{7 – x} over {3root 3 of {{{(x + 5)}^2}} }} = {{ – 4(x + 2)} over {3root 3 of {{{(x + 5)}^2}} }})
Bảng biến thiên:
Vậy ({y_{CD}} = y( – 2) = 9root 3 of 3 )
c) Hàm số xác định trên khoảng (( – sqrt {10} ;sqrt {10} )) .
(y’ = {{sqrt {10 – {x^2}} + {{{x^2}} over {sqrt {10 – {x^2}} }}} over {10 – {x^2}}} = {{10} over {(10 – {x^2})sqrt {10 – {x^2}} }})
Vì y’ > 0 với mọi (( – sqrt {10} ;sqrt {10} )) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.
d) TXĐ: (D = ( – infty ; – sqrt 6 ) cup (sqrt 6 ; + infty ))
(eqalign{
& y’ = {{3{x^2}sqrt {{x^2} – 6} – {{{x^4}} over {sqrt {{x^2} – 6} }}} over {{x^2} – 6}} cr
& = {{3{x^2}({x^2} – 6) – {x^4}} over {sqrt {{{({x^2} – 6)}^3}} }} cr
& = {{2{x^2}({x^2} – 9)} over {sqrt {{{({x^2} – 6)}^3}} }} cr} )
Bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =- 3 và ({y_{CT}} = y(3) = 9sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( – 3) = – 9sqrt 3 )
Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = sin 2x)
b) (y = cos x – sin x)
c) (y = {sin ^2}x)
Hướng dẫn làm bài:
a) (y = sin 2x)
Hàm số có chu kỳ (T = pi )
Xét hàm số (y = sin 2x) trên đoạn ({rm{[}}0;pi {rm{]}}) , ta có:
(y’ = 2cos 2x)
(y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} hfill cr
x = {{3pi } over 4} hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn ({rm{[}}0;pi {rm{]}}) , hàm số đạt cực đại tại ({pi over 4}) , đạt cực tiểu tại ({{3pi } over 4}) và ({y_{CD}} = y({pi over 4}) = 1;,,{y_{CT}} = y({{3pi } over 4}) = – 1)
Vậy trên R ta có:
({y_{CĐ}} = y({pi over 4} + kpi ) = 1;)
({y_{CT}} = y({{3pi } over 4} + kpi ) = – 1,k in Z)
b)
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn ({rm{[}} – pi ;pi {rm{]}}).
(eqalign{
& y’ = – sin x – cos x cr
& y’ = 0 < => tan x = – 1 < = > x = – {pi over 4} + kpi ,k in Z cr} )
Lập bảng biến thiên trên đoạn ({rm{[}} – pi ;pi {rm{]}})
Hàm số đạt cực đại tại (x = – {pi over 4} + k2pi ) , đạt cực tiểu tại (x = {{3pi } over 4} + k2pi (k in Z)) và
({y_{CĐ}} = y( – {pi over 4} + k2pi ) = sqrt 2) ;
({y_{CT}} = y({{3pi } over 4} + k2pi ) = – sqrt 2 (k in Z))
c) Ta có: (y = {sin ^2}x = {{1 – cos 2x} over 2})
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ (pi ). Ta xét hàm số (y = {1 over 2} – {1 over 2}cos 2x) trên đoạn ({rm{[}}0;pi {rm{]}}) .
(eqalign{
& y’ = sin 2x cr
& y’ = 0 < = > sin 2x = 0 < = > x = k.{pi over 2}(k in Z) cr} )
Lập bảng biến thiên trên đoạn (left[ {0,pi } right])
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại (x = k.{pi over 2}) với k chẵn, đạt cực đại tại (x = k.{pi over 2}) với k lẻ, và
({y_{CT}} = y(2mpi ) = 0;)
({y_{CĐ}} = y((2m + 1){pi over 2}) = 1(m in Z))
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi