Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) (y = 3{x^2} – 8{x^3})
b) (y = 16x + 2{x^2} – {{16} over 3}{x^3} – {x^4})
c) (y = {x^3} – 6{x^2} + 9x)
d) (y = {x^4} + 8{x^2} + 5)
Hướng dẫn làm bài
a) TXĐ: R
(y’ = 6x – 24{x^2} = 6x(1 – 4x))
y’ = 0 <=> (left[ {matrix{{x = 0} cr {x = {1 over 4}} cr} } right.)
y’ > 0 trên khoảng (0;({1 over 4}) ) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0;({1 over 4}) )
y’ < 0 trên các khoảng (-∞;0 ); (({1 over 4}; + infty )), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); (({1 over 4}; + infty ))
b) TXĐ: R
(y’ = 16 + 4x – 16{x^2} – 4{x^3} = – 4(x + 4)({x^2} – 1))
y’ = 0 <=> (left[ {matrix{{x = – 4} cr {x = – 1} cr {x = 1} cr} } right.)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)
c) TXĐ: R
(y’ = 3{x^2} – 12x + 9)
y’=0 <=> (left[ {matrix{{x = 1} cr {x = 3} cr} } right.)
y’ > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞)
y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)
d) TXĐ: R
(y’ = 4{x^3} + 16 = 4x({x^2} + 4))
y’ = 0 <=> x = 0
y’ > 0 trên khoảng (0; +∞) => y đồng biến trên khoảng (0; +∞)
y’ < 0 trên khoảng (-∞; 0) => y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) (y = {{3 – 2x} over {x + 7}})
b) (y = {1 over {{{(x – 5)}^2}}})
c) (y = {{2x} over {{x^2} – 9}})
d) (y = {{{x^4} + 48} over x})
e) (y = {{{x^2} – 2x + 3} over {x + 1}})
g) (y = {{{x^2} – 5x + 3} over {x – 2}})
Hướng dẫn làm bài
a) TXĐ: R {-7}
(y’ = {{ – 17} over {{{(x + 7)}^2}}})
y’ < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó
b) TXĐ: R {5}
(y’ = {{ – 2} over {{{(x – 5)}^3}}})
y’ < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)
y’ > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)
c) TXĐ: R{-3; 3}
(y’ = {{ – 2({x^2} + 9)} over {{{({x^2} – 9)}^2}}})
y’ < 0 trên các khoảng (-∞; – 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.
d) TXĐ: R {0}
(y’ = {{3({x^4} – 16)} over {{x^2}}} = {{3({x^2} – 4)({x^2} + 4)} over {{x^2}}})
y’ = 0 <=> (left[ {matrix{{x = – 2} cr {x = 2} cr} } right.)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)
e) TXĐ: R {-1}
(y’ = {{{x^2} + 2x – 5} over {{{(x + 1)}^2}}})
y’ = 0 <=> (left[ {matrix{{x = – 1 – sqrt 6 } cr {x = – 1 + sqrt 6 } cr} } right.)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (( – infty ; – 1 – sqrt 6 ),( – 1 + sqrt 6 ; + infty ))
và nghịch biến trên các khoảng (( – 1 – sqrt 6 ; – 1),( – 1; – 1 + sqrt 6 ))
g) TXĐ: R {2}
(y’ = {{{x^2} – 4x + 7} over {{{(x – 2)}^2}}} > 0)
(do ({x^2} – 4x + 7) có ∆’ = – 3 < 0)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (( – infty ;2),(2; + infty ))
Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a) (y = sqrt {25 – {x^2}} )
b) (y = {{sqrt x } over {x + 100}})
c) (y = {x over {sqrt {16 – {x^2}} }})
d) (y = {{{x^3}} over {sqrt {{x^2} – 6} }})
Hướng dẫn làm bài
a) TXĐ: [-5; 5]
(y’ = {{ – x} over {sqrt {25 – {x^2}} }}) ; y’ = 0 <=> x = 0
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5; 0) nghịch biến trên khoảng (0; 5)
b) TXĐ: [0; +∞)
(y’ = {{100 – x} over {2sqrt x {{(x + 100)}^2}}}) ; y’ = 0 <=> x = 100
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)
c) TXĐ: (-4; 4)
(y’ = {{16} over {(16 – {x^2})sqrt {16 – {x^2}} }} > 0) ; ∀ x ∈ (-4; 4).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4).
d) TXĐ: (-∞; (sqrt 6 )) ∪ ((sqrt 6 ); +∞)
(y’ = {{2{x^2}({x^2} – 9)} over {({x^2} – 6)sqrt {{x^2} – 6} }}) ; y’ = 0 <=> x = ±3
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3;(-sqrt 6 ) ), ((sqrt 6 ); 3).
Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) (y = x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}), x ∈ [0; 2π].
b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi over 6};{{5pi } over 6}))
c) (y = sin {1 over x}) , (x > 0)
Hướng dẫn làm bài
a) (y = x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}), x ∈ [0; 2π].
(y’ = 1 – c{rm{osx }}) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]
Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].
b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi over 6};{{5pi } over 6}))
(y’ = 1 – 2sin x) < 0 với x ∈ (({pi over 6};{{5pi } over 6}))
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (({pi over 6};{{5pi } over 6}))
c) Xét hàm số (y = sin {1 over x}) với x > 0.
(y’ = – {1 over {{x^2}}}cos {1 over x})
Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):
({1 over {{x^2}}}( – cos {1 over x}) > 0) ⟺ (cos {1 over x}) < 0
⟺ ({pi over 2}(1 + 4k) < {1 over x} < {pi over 2}(3 + 4k)) ,k = 0, 1, 2 ….
⟺ ({2 over {pi (1 + 4k)}} > x > {2 over {pi (3 + 4k)}}) , k = 0, 1, 2 ……..
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
(….,({2 over {(4k + 3)pi }};{2 over {(4k + 1)pi }}),({2 over {(4k – 1)pi }};{2 over {(4k – 3)pi }}),…..,) (({2 over {7pi }};{2 over {5pi }}),({2 over {3pi }};{2 over pi }))
Và nghịch biến trên các khoảng
……, (({2 over {(4k + 1)pi }};{2 over {(4k – 1)pi }}),({2 over {5pi }};{2 over {3pi }}),…..,({2 over pi }; + infty ))
với k = 0, 1, 2 …
Giaibaitap.me
Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi