Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

By Chán Vkl On Nov 24, 2022

thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi môn Toán lớp 12, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Giải tích lớp 12. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 12 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

Cách 1: Sử dụng tính chất tam thức bậc hai

– Phân tích phương trình ban đầu thành ${left( {{x^2} + dfrac{{ax}}{2} + m} right)^2} + fleft( x right)$ trong đó $fleft( x right)$ là một tam thức bậc 2 luôn lớn hơn 0 với $forall x in mathbb{R}$

Cách 2: Sử dụng đạo hàm:

– Ta xét phương trình tổng quát: ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ (1)

Bước 1: Đạo hàm vế trái của phương trình (1) ta được: $f'left( x right) = 4{x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c$
Bước 2: Giải phương trình $f'left( x right) = 0$ . Nếu:

+ Phương trình có nghiệm duy nhất thì đây chính là điểm rơi

+ Phương trình có nhiều nghiệm thì lấy nghiệm làm cho vế trái nhỏ nhất

Bước 3: Tìm k sao cho:

+ ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d - {left( {{x^2} + dfrac{{ax}}{2} + k} right)^2} > 0,,,forall x$

+ $k approx - x_0^2 - dfrac{{a}}{2}{x_0}$

Bước 4: Sau khi tìm được k, ta được ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d - {left( {{x^2} + dfrac{{ax}}{2} + k} right)^2} = m{x^2} + nx + p > 0,,,forall x$

Do $fleft( x right) - gleft( x right) = hleft( x right)$ mà trong đó $left{ begin{array}{l} hleft( x right) > 0\ gleft( x right) > 0 end{array} right. Rightarrow fleft( x right) > 0$ 2. Bài tập chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: $f'left( x right) = 4{x^3} - 2x + 1$

Khi đó $f'left( x right) = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 2x + 1 = 0 Leftrightarrow x = {x_0} = - 0,8846$

Ta có: $k approx - x_0^2 - dfrac{{a}}{2}{x_0} = - {left( { - 0,8846} right)^2} = - 0,715716 Rightarrow k = - 0,8 = dfrac{{ - 4}}{5}$

Khi đó:

$begin{array}{l} {x^4} - {x^2} + x + 2 - {left( {{x^2} - dfrac{4}{5}} right)^2} = dfrac{3}{5}{x^2} + x + 1.36\ = dfrac{3}{5}left( {{x^2} + frac{5}{3}x + dfrac{{34}}{{15}}} right) = dfrac{3}{5}left( {{x^2} + 2.dfrac{5}{6}x + dfrac{{25}}{{36}} + dfrac{{283}}{{180}}} right)\ = dfrac{3}{5}{left( {x + dfrac{5}{6}} right)^2} + dfrac{{283}}{{300}} > 0,,forall x end{array}$ Hướng dẫn giải

Ta có: $f'left( x right) = 8{x^3} + 3{x^2} - 4x + 1$

Khi đó: $f'left( x right) = 0 Leftrightarrow 8{x^3} + 3{x^2} - 4x + 1 = 0 Leftrightarrow x = {x_0} = - 1$

Ta có: $k approx - x_0^2 - dfrac{{a}}{2}{x_0} = dfrac{{ - 3}}{4}$

Khi đó:

$begin{array}{l} 2{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + x + 3 - 2{left( {{x^2} + dfrac{1}{4}x - dfrac{3}{4}} right)^2}\ = dfrac{7}{8}{x^2} + dfrac{7}{4}x + dfrac{{15}}{8} = dfrac{7}{8}{left( {x + 1} right)^2} + 1 > 0,,forall x end{array}$

Vậy phương trình luôn lớn hơn 0 với mọi x

—————————————————————————-

Trên đây là bài tập hướng dẫn chi tiết chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập nắm chắc kiến thức cơ bản môn Toán 12 và hỗ trợ các em học sinh trong các kì thi trong năm học lớp 12.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi