Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

By Chán Vkl On Jul 21, 2022

Contents

Chuyên đề Toán 9: Hệ thức lượng trong tam giác là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Công thức hệ thức lượng

A. Công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa như sau:

$sin alpha = frac{{AB}}{{BC}};cos alpha = frac{{AC}}{{BC}};tan alpha = frac{{AB}}{{AC}};cot alpha = frac{{AC}}{{AB}}$

+ Nếu là một góc nhọn thì

$0 < sin alpha < 1;0 < cos alpha < 1;$

$tan alpha > 0;cot alpha > 0$

2. Với hai góc $alpha ,beta$ mà $alpha + beta = {90^0}$

Ta có: $sin alpha = cos beta ;cos alpha = sin beta ;tan alpha = cot beta ;cot alpha = tan beta$

Nếu hai góc nhọn $alpha ,beta$ có $sin alpha = sin beta$ hoặc $cos alpha = cos beta$ thì $alpha = beta$

3. ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1;tan alpha .cot alpha = 1$

4. Với một số góc đặc biệt ta có:

$sin {30^0} = cos {60^0} = frac{1}{2};sin {45^0} = cos {45^0} = frac{{sqrt 2 }}{2}$

$cos {30^0} = sin {60^0} = frac{{sqrt 3 }}{2};cot {60^0} = tan {30^0} = frac{1}{{sqrt 3 }}$

$tan {45^0} = cot {45^0} = 1;cot {30^0} = tan {60^0} = sqrt 3$

B. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét tam giác ABC vuông tại A.

Đặt $widehat B = alpha$ . Ta có: $sin alpha = frac{{AC}}{{BC}} = frac{5}{{13}}$

=> $frac{{AC}}{5} = frac{{BC}}{{13}} = k$

=> AC = k, BC = 13k.

Tam giác ABC vuông tại A nên:

$A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {left( {13k} right)^2} - {left( {5k} right)^2} = 144{k^2}$

=> AB = 12k

Vậy $cos alpha = frac{{AB}}{{BC}} = frac{{12k}}{{13k}} = frac{{12}}{{13}}$ ; $tan alpha = frac{{AC}}{{AB}} = frac{{5k}}{{12k}} = frac{5}{{12}}$ ; $cot alpha = frac{{AB}}{{AC}} = frac{{12k}}{{5k}} = frac{{12}}{5}$

Cách 2. Ta có $sin alpha = frac{5}{{13}}$ => ${sin ^2}alpha = frac{{25}}{{169}}$

Mà ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$

=> ${cos ^2}alpha = 1 - {sin ^2}alpha = 1 - frac{{25}}{{169}} = frac{{144}}{{169}}$

=> $cos alpha = frac{{12}}{{13}}$

=> $tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} = frac{5}{{13}}:frac{{12}}{{13}} = frac{5}{{13}}.frac{{13}}{{12}} = frac{5}{{12}}$

=> $cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }} = frac{{12}}{{13}}:frac{5}{{13}} = frac{{12}}{{13}}.frac{{13}}{5} = frac{{12}}{5}$

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính $cos alpha ,tan alpha ,cot alpha$ . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết $sin alpha = frac{5}{{13}}$ để tính ${sin ^2}alpha$ rồi tính $cos alpha$ từ ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ . Sau đó ta tính $tan alpha$ và $cot alpha$ qua $sin alpha$ và $cos alpha$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $tan B = frac{{AD}}{{BD}};tan C = frac{{AD}}{{CD}}$

=> $tan B.tan C = frac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}$ (1)

$widehat {HBD} = widehat {CAD}$ (cùng phụ với $widehat {ACB}$ )

$widehat {HDB} = widehat {ADC} = {90^0}$

=> $Delta BDH sim Delta ADC$ (g.g)

=> $frac{{DH}}{{DC}} = frac{{BD}}{{AD}}$

=> BD . DC = DH . AD (2)

Từ (1) và (2)

=> $tan B.tan C = frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = frac{{AD}}{{DH}}$ (3).

Theo giả thiết $frac{{HD}}{{AH}} = frac{1}{2}$ suy ra $frac{{HD}}{{AH + HD}} = frac{1}{{2 + 1}}$ hay $frac{{HD}}{{AD}} = frac{1}{3}$

=> AD = 2HD. Thay vào (3) ta được: $tan B.tan C = frac{{3HD}}{{DH}} = 3$

Hướng dẫn giải

Biết $sin alpha .cos alpha = frac{{12}}{{25}}$ . Để tính $sin alpha ,cos alpha$ ta cần tính $sin alpha + cos alpha$ rồi giải phương trình với ẩn là $sin alpha$ hoặc $cos alpha$ .

Ta có:

${left( {sin alpha + cos alpha } right)^2} = {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha + 2sin alpha .cos alpha = 1 + 2.frac{{12}}{{25}} = frac{{49}}{{25}}$

=> $sin alpha + cos alpha = frac{7}{5}$ nên $sin alpha = frac{7}{5} - cos alpha$

=> $cos alpha left( {frac{7}{5} - cos alpha } right) = frac{{12}}{{25}} Leftrightarrow frac{7}{5}cos alpha - {cos ^2}alpha = frac{{12}}{{25}}$

$begin{matrix} Leftrightarrow 25{cos ^2}alpha - 35cos alpha + 12 = 0 hfill \ Leftrightarrow 5cos alpha left( {5cos alpha - 4} right) - 3left( {5cos alpha - 4} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {5cos alpha - 4} right)left( {5cos alpha - 3} right) = 0 hfill \ end{matrix}$

=> $cos alpha = frac{4}{5}$ hoặc $cos alpha = frac{3}{5}$

+ Nếu $cos alpha = frac{4}{5}$ thì $sin alpha = frac{{12}}{{25}}:frac{4}{5} = frac{3}{5}$

+ Nếu $cos alpha = frac{3}{5}$ thì $sin alpha = frac{{12}}{{25}}:frac{3}{5} = frac{4}{5}$

Vậy $sin alpha = frac{3}{5}$ , $cos alpha = frac{4}{5}$ hoặc $sin alpha = frac{4}{5},cos alpha = frac{3}{5}$

——————————————

Hy vọng tài liệu Công thức tỉ số lượng giác lớp 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi