Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2

By Chán Vkl On May 24, 2022

Bài 44 trang 130 SGK Toán 9

Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2 Ôn tập chương 4 với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 9. Tài liệu được biên soạn và đăng tải với hướng dẫn chi tiết các bài tập tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Chúc các bạn học tập tốt!

Giải bài 44 Toán 9 trang 130

Bài 44 (trang 130 SGK): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO.

Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu hình vẽ như sau:

a) Khi hình vuông ABCD quay quanh trục GO ta được hình trụ có đường kính đáy AB và chiều cao BC là: $V = pi {left( {frac{{AB}}{2}} right)^2}.BC$

Mà AB = BC (do ABCD là hình vuông) => $V = pi {left( {frac{{AB}}{2}} right)^2}.AB = frac{{pi .A{B^3}}}{4}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có: AC ⊥ BD tại O

Do đó, tam giác OAB vuông tại O

Xét tam giác OAB vuông tại O

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

$begin{matrix} A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} hfill \ Rightarrow AB = sqrt {2{R^2}} = Rsqrt 2 hfill \ Rightarrow V = dfrac{{pi .A{B^3}}}{4} = dfrac{{pi .{{left( {Rsqrt 2 } right)}^3}}}{4} = dfrac{{pi .{R^3}sqrt 2 }}{2} hfill \ Rightarrow {V^2} = {left( {dfrac{{pi .{R^3}sqrt 2 }}{2}} right)^2} = dfrac{{{pi ^2}{R^6}}}{2}left( 1 right) hfill \ end{matrix}$

Thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn có bán kính R là: ${V_1} = frac{4}{3}pi {R^3}$

Kẻ GH vuông góc với EF tại H

Thể tích hình nón sinh ra bởi tam giác đều GEF có bán kính đường tròn đáy bằng EF/2 là:

Do tam giác GEF đều nên GH là đường cao (do GH vuông góc với EF tại H) và cũng là đường trung tuyến => $HE = HF = frac{{EF}}{2}$

Xét tam giác GEH vuông tại H

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

Mà GE = EF (do tam giác GEF đều)

$begin{matrix} Rightarrow E{F^2} = G{H^2} + {left( {frac{{EF}}{2}} right)^2} hfill \ Rightarrow E{F^2} - {left( {dfrac{{EF}}{2}} right)^2} = G{H^2} hfill \ Rightarrow dfrac{3}{4}E{F^2} = G{H^2} hfill \ Rightarrow E{F^2} = dfrac{4}{3}G{H^2} hfill \ end{matrix}$

Do tam giác GEF đều nên O là trực tâm và cũng là trọng tâm

$begin{matrix} Rightarrow GH = dfrac{3}{2}GO = dfrac{3}{2}R hfill \ Rightarrow E{F^2} = dfrac{4}{3}.{left( {dfrac{3}{2}R} right)^2} = 3{R^2} hfill \ Rightarrow EF = Rsqrt 3 hfill \ end{matrix}$

$Rightarrow {V_2} = frac{1}{3}pi {left( {frac{{EF}}{2}} right)^2}.GH = frac{1}{3}pi {left( {frac{{Rsqrt 3 }}{2}} right)^2}.frac{3}{2}R = frac{3}{8}pi R$

Ta có: ${V_1}.{V_2} = frac{4}{3}pi {R^3}.frac{3}{8}pi {R^3} = frac{{{pi ^2}{R^6}}}{2}{text{ }}left( 2 right)$

Từ (1) và (2) ta có: ${V^2} = {V_1}.{V_2}$

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính AB/2và chiều cao BC là:

$begin{matrix} S = {S_{xq}} + {S_d} hfill \ S = 2pi .dfrac{{AB}}{2}.BC + pi .{left( {dfrac{{AB}}{2}} right)^2} hfill \ S = 2pi .dfrac{{Rsqrt 2 }}{2}.Rsqrt 2 + pi .{left( {dfrac{{Rsqrt 2 }}{2}} right)^2} = 9{pi ^2}.{R^4}{text{ }}left( 3 right) hfill \ end{matrix}$

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: ${S_1} = 4pi .{R^2}$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

$begin{matrix} {S_2} = {S_{xq}} + {S_d} hfill \ S = pi .dfrac{{EF}}{2}.FG + pi .{left( {dfrac{{EF}}{2}} right)^2} hfill \ S = pi dfrac{{Rsqrt 3 }}{2}.Rsqrt 3 + pi .{left( {dfrac{{Rsqrt 3 }}{2}} right)^2} hfill \ S = 9{pi ^2}{R^4}{text{ }}left( 4 right) hfill \ end{matrix}$

Từ (3) và (4) ta có: S² = S₁. S₂

—-> Câu hỏi tiếp theo: Bài 45 trang 131 SGK Toán 9

—————————————————–

Trên đây là lời giải chi tiết Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2 cho các em học sinh tham khảo, nắm được cách giải các dạng toán của Chương 4 Hình trụ – Hình nón – Hình cầu. Với lời giải hướng dẫn chi tiết các bạn có thể so sánh kết quả của mình từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác với thuthuat.tip.edu.vn để có thêm nhiều tài liệu chất lượng miễn phí nhé!

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi