Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

By Chán Vkl On Jul 27, 2022

Contents

Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu liên quan:

Trục căn thức ở mẫu Toán 9
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Chứng minh đẳng thức
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1. Cách tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng $A = fleft( x right) + frac{k}{{gleft( x right)}}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên $frac{k}{{gleft( x right)}}$ thì nguyên hay $k vdots gleft( x right)$ nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.

Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Ví dụ tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x geqslant 0$

Để biểu thức D nhận giá trị nguyên $sqrt x + 3 in Uleft( 7 right) = left{ { pm 1; pm 7} right}$

$begin{matrix} x geqslant 0 Rightarrow sqrt x + 3 geqslant 3 hfill \ Rightarrow sqrt x + 3 = 7 hfill \ Rightarrow sqrt x = 4 Rightarrow x = 16left( {tm} right) hfill \ end{matrix}$

Vậy x = 16 thì D nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x geqslant 0$

Ta có: $E = frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x + 1}} = frac{{sqrt x + 1 + 1}}{{sqrt x + 1}} = 1 + frac{1}{{sqrt x + 1}}$

Để E nhận giá trị nguyên $frac{1}{{sqrt x + 1}} in mathbb{Z}$

$Leftrightarrow frac{1}{{sqrt x + 1}} in Uleft( 1 right) = left{ { pm 1} right}$

Mà $sqrt x + 1 geqslant 1 Rightarrow sqrt x + 1 = 1 Rightarrow x = 0$

Vậy x = 0 thì E nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 9.

$begin{matrix} A = left( {dfrac{1}{{sqrt x + 1}} + dfrac{5}{{sqrt x - 3}} - dfrac{6}{{9 - x}}} right):dfrac{6}{{sqrt x + 2}} hfill \ A = dfrac{{sqrt x - 3 + 5left( {sqrt x + 3} right) + 6}}{{left( {sqrt x - 3} right)left( {sqrt x + 3} right)}}.dfrac{{sqrt x + 2}}{6} hfill \ A = dfrac{{6sqrt x + 18}}{{left( {sqrt x - 3} right)left( {sqrt x + 3} right)}}.dfrac{{sqrt x + 2}}{6} hfill \ A = dfrac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x - 3}} hfill \ end{matrix}$

b) Ta có: $A = frac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x - 3}} = frac{{sqrt x - 3 + 5}}{{sqrt x - 3}} = 1 + frac{5}{{sqrt x - 3}}$

A có giá trị nguyên nghĩa là $frac{5}{{sqrt x - 3}}$ có giá trị nguyên

$Rightarrow sqrt x - 3 in Uleft( 5 right) Rightarrow sqrt x - 3 in left{ { - 1;1; - 5;5} right}$

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc $sqrt x$ là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc $sqrt x$ là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $frac{5}{{sqrt x - 3}}$ là số nguyên thì $sqrt x$ không thể là số vô tỉ

Do đó $sqrt x$ là số nguyên

=> $sqrt x - 3$ là ước tự nhiên của 5

Ta có bảng giá trị như sau:

$sqrt x - 3$	1	-1	5	-5
$sqrt x$	4	2	8	-2
x	16 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)	64 (thỏa mãn)

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {16; 4; 64}

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 4

$B = frac{{2sqrt x + 2}}{{sqrt x + 2}}$

b) Ta có: $P = Aleft( {B - 2} right) = frac{{ - 2}}{{sqrt x - 2}}$

P có giá trị nguyên nghĩa là $frac{{ - 2}}{{sqrt x - 2}}$ có giá trị nguyên

$Rightarrow sqrt x - 2 in Uleft( 2 right) Rightarrow sqrt x - 2 in left{ { - 1;1; - 2;2} right}$

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc $sqrt x$ là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc $sqrt x$ là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $frac{{ - 2}}{{sqrt x - 2}}$ là số nguyên thì $sqrt x$ không thể là số vô tỉ

Do đó $sqrt x$ là số nguyên

=> $sqrt x - 2$ là ước tự nhiên của

Ta có bảng giá trị như sau:

$sqrt x - 2$	1	-1	2	-2
$sqrt x$	3	1	4	0
x	9	1	16	0

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {3; 1; 16}

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4

Thực hiện rút gọn phân số ta có:

$begin{matrix} A = dfrac{{xleft( {sqrt {x + 4sqrt {x - 4} } + sqrt {x - 4sqrt {x - 4} } } right)}}{{sqrt {{x^2} - 8x + 16} }} hfill \ A = dfrac{{xleft( {sqrt {{{left( {sqrt {x - 4} + 2} right)}^2}} + sqrt {{{left( {sqrt {x - 4} - 2} right)}^2}} } right)}}{{sqrt {{{left( {x - 4} right)}^2}} }} hfill \ A = dfrac{{xleft( {left| {sqrt {x - 4} + 2} right| + left| {sqrt {x - 4} - 2} right|} right)}}{{left| {x - 4} right|}} hfill \ A = dfrac{{xleft( {sqrt {x - 4} + 2 + left| {sqrt {x - 4} - 2} right|} right)}}{{x - 4}} hfill \ end{matrix}$

Trường hợp 1: Nếu 4 < x < 8 thì $sqrt {x - 4} < 2$ khi đó

$A = frac{{xleft( {sqrt {x - 4} + 2 + 2 - sqrt {x - 4} } right)}}{{x - 4}} = frac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + frac{{16}}{{x - 4}}$

Do 4 < x < 8 nên 0 < x – 4 < 4 => A > 8

Trường hợp 2: Nếu x ≥ 8 thì $sqrt {x - 4} geqslant 2$ khi đó:

$A = frac{{xleft( {sqrt {x - 4} + 2 + sqrt {x - 4} - 2} right)}}{{x - 4}} = frac{{2xsqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = frac{{2x}}{{sqrt {x - 4} }}$

$= 2sqrt {x - 4} + frac{8}{{sqrt {x - 4} }} geqslant 2sqrt {16} = 8$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 8 khi x = 8

c) Xét 4 < x < 8 thì $A = 4 + frac{{16}}{{x - 4}}$ . Ta thấy biểu thức A nguyên khi và chỉ khi $frac{{16}}{{x - 4}} in mathbb{Z}$ => x = 4 là ước số nguyên dương của 16

Ta có Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

Hay x – 4 ∈ {1; 2; 4; 8; 16}

=> x ∈ {5; 6; 8; 12; 20} đối chiếu với điều kiện suy ra x =5 hoặc x = 6

Xét x ≥ 8 ta có:

$A = frac{{2x}}{{sqrt {x - 4} }}$ . Đặt $sqrt {x - 4} = m$ $Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {m^2} + 4} \ {m geqslant 2} end{array}} right.$ . Khi đó ta có:

$A = frac{{2left( {{m^2} + 4} right)}}{m} = 2m + frac{8}{m}$ suy ra m ∈ {2; 4; 8} => x ∈ {8; 20; 68}

Kết luận: Để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5; 6; 8; 20; 68}

3. Bài tập tìm giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm x ∈ $mathbb{Z}$ để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a. $A = frac{{{x^2} - 4x - 17}}{{x + 2}}$

b. $B = frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 3}}$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $frac{{3sqrt x }}{{sqrt x - 1}}$	b. $frac{9}{{sqrt x - 2}}$
c. $frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x - 3}}$	d. $frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{2x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = frac{1}{{sqrt {4{x^2} + 4x + 1} }};B = frac{{2x - 2}}{{sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}$

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $Q = frac{{2A + B}}{3}$ cũng có giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức:

$P = frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 1}} + frac{3}{{sqrt x + 1}} - frac{{6sqrt x - 4}}{{x - 1}};left( {x geqslant 0,x ne 1} right)$

a. Rút gọn P

b. Tìm x để P = -1

c. Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = frac{{sqrt x - 2}}{{sqrt x + 2}};B = frac{{x - 2}}{{sqrt x - 2}} + frac{2}{{sqrt x }} + frac{4}{{x - 2sqrt x }};left( {x > 0;x ne 4} right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho hai biểu thức:

$A = frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x - 3}};B = frac{4}{{sqrt x + 3}} + frac{{2x - sqrt x + 13}}{{x - 9}} - frac{{sqrt x }}{{sqrt x - 3}}$

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng $P = frac{{sqrt x - 5}}{{sqrt x + 3}}$

c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 7: Cho các biểu thức:

$A = frac{{3sqrt x - 21}}{{x - 9}};B = frac{2}{{sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn biểu thức M = A + B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.

Bài 8: Cho biểu thức $B = frac{{sqrt a }}{{sqrt a - 3}} - frac{3}{{sqrt a + 3}} - frac{{a - 2}}{{a - 9}}$ với $a geqslant 0;a ne 9$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Tìm x nguyên để biểu thức nguyên Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Tài liệu liên quan:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
Hai bạn Tuấn và Hà đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ địa điểm khác nhau cách nhau 150km đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tìm vận tốc của mỗi bạn biết rằng Hà tăng vận tốc thêm 5km/h và Tuấn giảm vận tốc 5km/h thì vận tốc của Hà gấp đôi vận tốc của Tuấn.
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dư định của xe đó.
Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. $widehat {ABD} = widehat {ACD}$ c. CA là tia phân giác của góc SCB.
Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi