Bài tập Toán 9 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

By Chán Vkl On Jun 21, 2022

Contents

Rút gọn biểu thức chứa căn thức được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

Để tải tài liệu, mời ấn vào đường link sau: Bài tập Toán 9 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

A. Lý thuyết cần nhớ

1. Căn bậc hai, căn bậc hai số học

– Căn bậc hai của một số không a à số x sao cho x² = a

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là $sqrt a$ , số âm kí hiệu là $-sqrt a$

– Số 0 có đúng một căn bậc hau là số 0, ta viết $sqrt 0 = 0$

– Với số dương a, số $sqrt a$ được gọi là căn bậc hai số học của a

– Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

– Với hai số không âm a và b ta có $a < b Rightarrow sqrt a < sqrt b$

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $sqrt A$ là căn thức bậc hai của A

$sqrt A$ xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0

$sqrt {{A^2}} = left| A right| Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {A{text{ khi A}} geqslant {text{0}}} \ { - A{text{ khi A < 0}}} end{array}} right.$

B. Bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định: $3x + 1 geqslant 0 Rightarrow 3x geqslant - 1 Rightarrow x geqslant frac{{ - 1}}{3}$

b. Điều kiện xác định: $frac{{ - 2}}{{x + 1}} geqslant 0{text{ Do - 2 < 0}} Rightarrow x + 1 < 0 Rightarrow x < - 1$

c. Điều kiện xác định: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 geqslant 0} \ {x + 2 ne 0} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x geqslant 2} \ {x ne - 2} end{array}} right. Rightarrow x ge2$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp: Để tính toán các bài toán cần biến đổi và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Để đơn giản bài toán, các em có thể tham khảo thông qua ví dụ như sau:

Hằng đẳng thức đáng nhớ	Ví dụ tham khảo
${left( {a + b} right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$	$sqrt {4 + 2sqrt 3 } = sqrt {3 + 2sqrt 3 + 1} = sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + 2sqrt 3 + {1^2}}$ $= sqrt {{{left( {sqrt 3 + 1} right)}^2}} = left\| {sqrt 3 + 1} right\| = sqrt 3 + 1$
${left( {a - b} right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$	$begin{matrix} sqrt {{x^2} - 4sqrt {{x^2} - 5} + 3} = sqrt {{x^2} - 5 - 4sqrt {{x^2} - 5} + 8} hfill \ = sqrt {{x^2} - 5 - 4sqrt {{x^2} - 5} + {2^2} + 4} = sqrt {{{left( {sqrt {{x^2} - 5} - 2} right)}^2} + 4} hfill \ end{matrix}$
${a^2} - {b^2} = left( {a - b} right)left( {a + b} right)$	$dfrac{{1 - x}}{{sqrt x + 1}} = dfrac{{{1^2} - {{sqrt x }^2}}}{{sqrt x + 1}}$ $= dfrac{{left( {1 - sqrt x } right)left( {1 + sqrt x } right)}}{{sqrt x + 1}} = 1 - sqrt x ;left( {x geqslant 0} right)$
${a^3} - {b^3} = left( {a - b} right)left( {{a^2} + ab + {b^2}} right)$	$begin{matrix} dfrac{{xsqrt x - 1}}{{sqrt x - 1}} - sqrt x = dfrac{{sqrt {{x^3}} - {1^3}}}{{sqrt x - 1}} - sqrt x hfill \ = dfrac{{left( {sqrt x - 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x - 1}} - sqrt x hfill \ = x + sqrt x + 1 - sqrt x = x + 1 hfill \ end{matrix}$
${a^3} + {b^3} = left( {a + b} right)left( {{a^2} - ab + {b^2}} right)$	$begin{matrix} dfrac{{{x^2} + sqrt x }}{{x - sqrt x + 1}} = dfrac{{sqrt x left( {xsqrt x + 1} right)}}{{x - sqrt x + 1}} = dfrac{{sqrt x left( {sqrt {{x^3}} + {1^3}} right)}}{{x - sqrt x + 1}} hfill \ = dfrac{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right)left( {x - sqrt x + 1} right)}}{{x - sqrt x + 1}} = sqrt x left( {sqrt x + 1} right) hfill \ end{matrix}$
${left( {a + b} right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$	${left( {sqrt a + 1} right)^3} = asqrt a + 3a + 3sqrt a + 1$
${left( {a - b} right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$	${left( {sqrt a - 1} right)^3} = asqrt a - 3a + 3sqrt a - 1$

Dạng 3: Giải phương trình

Dạng phương trình	Ví dụ tham khảo
${A^2} = {B^2}$	${x^2} = 9 Leftrightarrow {x^2} = {3^2} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \ {x = - 3} end{array}} right.$
$sqrt A = sqrt B Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {A geqslant 0} \ {A = B} end{array}} right.$	$sqrt {3x - 1} = sqrt {x + 2}$ Điều kiện xác định $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {3x - 1 geqslant 0} \ {x + 2 geqslant 0} end{array}} right. Leftrightarrow x geqslant frac{1}{3}$ $begin{matrix} Leftrightarrow 3x - 1 = x + 2 hfill \ Leftrightarrow 2x = 3 Leftrightarrow x = dfrac{3}{2}left( {tm} right) hfill \ end{matrix}$
$sqrt A = B Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {B geqslant 0} \ {A = {B^2}} end{array}} right.$ B < 0 phương trình vô nghiệm	$begin{matrix} sqrt {1 - {x^2}} = x - 1 Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {x - 1 geqslant 0} \ {1 - {x^2} = {{left( {x - 1} right)}^2}} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {x geqslant 1} \ {2{x^2} - 2x = 0} end{array}} right.} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {x geqslant 1} \ {2xleft( {x - 1} right) = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {x geqslant 1} \ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \ {x = 1} end{array}} right.} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$ Vậy x = 1
$left\| A right\| = B Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {B geqslant 0} \ {left[ {begin{array}{{20}{c}} {A = B} \ {A = - B} end{array}} right.} end{array}} right.$	$begin{matrix} sqrt {{x^2} + x + dfrac{1}{4}} - 2x = 0 Leftrightarrow left\| {x + dfrac{1}{2}} right\| = 2x hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {2x geqslant 0} \ {left[ {begin{array}{{20}{c}} {x + dfrac{1}{2} = 2x} \ {x + frac{1}{2} = - 2x} end{array}} right.} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{{20}{c}} {x geqslant 0} \ {left[ {begin{array}{{20}{c}} {x = dfrac{1}{2}left( {tm} right)} \ {x = dfrac{{ - 1}}{6}left( l right)} end{array}} right.} end{array} Leftrightarrow } right.x = dfrac{1}{2} hfill \ end{matrix}$
$left\| A right\| = left\| B right\| Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {A = B} \ {A = - B} end{array}} right.$	$left\| {x + 1} right\| = left\| {2x + 5} right\| Leftrightarrow left[ {begin{array}{{20}{c}} {x + 1 = 2x + 5} \ {x + 1 = - 2x - 5} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{{20}{c}} {x = - 4} \ {x = - 2} end{array}} right.} right.$
$left\| A right\| + left\| B right\| = 0 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \ {B = 0} end{array}} right.$	$begin{matrix} left\| {{x^2} - 4} right\| + left\| {x + 2} right\| = 0 Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {{x^2} - 4 = 0} \ {x + 2 = 0} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {left( {x - 2} right)left( {x + 2} right) = 0} \ {x = - 2} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {left[ {begin{array}{{20}{c}} {x = 2} \ {x = - 2} end{array}} right.} \ {x = - 2} end{array}} right. Rightarrow x = - 2 hfill \ end{matrix}$
$sqrt A + sqrt B = 0 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \ {B = 0} end{array}} right.$	Điều kiện xác định $x geqslant - 5$ $begin{matrix} sqrt {{x^2} - 25} + sqrt {x + 5} = 0 Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {{x^2} - 25 = 0} \ {x + 5 = 0} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{{20}{c}} {left( {x - 5} right)left( {x + 5} right) = 0} \ {x = - 5} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = pm 5} \ {x = - 5} end{array}} right. Rightarrow x = - 5 hfill \ end{matrix}$

D. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a. $sqrt {2x - 1}$	b. $frac{x}{{{x^2} - 4}} + sqrt {x - 2}$	g. $sqrt {25 - {x^2}}$
c. $sqrt {9x - 2}$	d. $sqrt {frac{1}{{3 - 2x}}}$	h. $sqrt {xleft( {x - 1} right)}$
e. $sqrt {frac{{ - 2}}{{2x - 1}}}$	f. $sqrt {{x^2} + 4}$	i $sqrt {{x^2} - 5x + 6}$

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

a. $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} + sqrt {{{left( {1 - sqrt 3 } right)}^2}}$	b. $sqrt {{{left( {5 - 2sqrt 6 } right)}^2}} - sqrt {{{left( {5 + 2sqrt 6 } right)}^2}}$
c. $sqrt {{{left( {sqrt 2 + 1} right)}^2}} - sqrt {{{left( {sqrt 2 - 5} right)}^2}}$	d. $sqrt {17 - 12sqrt 2 } + sqrt {9 + 4sqrt 2 }$
e. $sqrt {6 - 4sqrt 2 } + sqrt {22 - 12sqrt 2 }$	f. $sqrt {sqrt 5 - sqrt {9 - sqrt {29 - 12sqrt 5 } } }$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a. $sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} - 2x$	b. ${a^2} + sqrt {{a^4} - 8{a^2} + 16}$
c. $frac{{sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}};left( {x > 1} right)$	d. $2x - 1 - frac{{sqrt {{x^2} - 10x + 25} }}{{x - 5}}$
e. $sqrt {{{left( {x - 4} right)}^2}} + frac{{x - 4}}{{sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}$	f. $sqrt {{x^2} + 2sqrt {{x^2} - 1} } - sqrt {{x^2} - 2sqrt {{x^2} - 1} }$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a. $sqrt {2x + 5} = sqrt {1 - x}$	b. $sqrt {x + 2sqrt {x - 1} } = 2$
c. $sqrt {{x^2} - 4x + 3} = x - 2$	d. $sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 1$
e. $sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5$	f. $left\| {3x + 1} right\| = left\| {x + 1} right\|$
g. $sqrt {9{x^2} - 12x + 4} - sqrt {{x^2}} = 0$	h. $sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0$

—————————————————–

———-> Bài liên quan:

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn

Hy vọng tài liệu Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Ngoài ra mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Luyện tập Toán 9, Giải toán 9, …

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m². Tìm diện tích vườn lúc đầu.
Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. $widehat {ABD} = widehat {ACD}$ c. CA là tia phân giác của góc SCB.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi