Cách giải hệ phương trình

By Chán Vkl On Jun 6, 2022

Contents

Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được thuthuat.tip.edu.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} end{array}} right.$ (I)

Trong đó x. y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x₀;y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x₀;y₀) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I)

Giải hệ phương trình (I) ta tìm được tập nghiệm của nó.

B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của cả hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương trình một ẩn)

Bước 3: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Hướng dẫn giải

Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được

2x + 8y = 12

Hệ phương trình trở thành $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {x + 4y = 6} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {2x + 8y = 12} end{array}} right.$

Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được

2x + 8y – (2x – 3y) = 12 – 1

=>2x + 8y – 2x + 3y = 11

=>11y = 11

=> y = 1

Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được

x + 4 = 6

=> x = 6 – 4

=> x = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Ta có thể làm như sau:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {x + 4y = 6} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {2x + 8y = 12} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {left( {2x + 8y} right) - left( {2x - 3y} right) = 12 - 1} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {11y = 11} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3y = 1} \ {y = 1} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \ {y = 1} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Hướng dẫn giải

Ta có:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 3} \ {x - y = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left( {x + y} right) - left( {x - y} right) = 3 - 1} \ {x - y = 1} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2y = 2} \ {x - y = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \ {x - y = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \ {x = 2} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

=> (x; y) = (m; n) = (2; 1)

=> m = 2; n = 1

S = m² + n² = 2² + 1² = 5

Vậy S = 5

C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.

Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới (Phương trình bậc nhất một ẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình.

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 3 = 0} \ {xy - 2x + 2 = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 3} \ {xy - 2x = - 2} end{array}} right.$

Rút x từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y

Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được:

(3 – y)y – 2(3 – y) = -2

=> 3y – y² – 6 + 2y = -2

=> y² – 5y + 4 = 0

Do 1 – 5 + 4 = 0 => y = 1 hoặc y = 4

Với y = 4 => x = 3 – 4 = -1

Với y = 1 => x = 3 – 1 = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

Ta có thể làm bài như sau:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 3 = 0} \ {xy - 2x + 2 = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \ {xy - 2x = - 2} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \ {left( {3 - y} right)y - 2left( {3 - y} right) = - 2} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \ {{y^2} - 5y + 4 = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 - y} \ {left[ {begin{array}{*{20}{c}} {y = 4} \ {y = 1} end{array}} right.} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {y = 4 Rightarrow x = 3 - 4 = - 1} \ {y = 1 Rightarrow x = 3 - 1 = 2} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

D. Giải hệ phương trình bằng định thức

Hệ phương trình: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} end{array}} right.$

Định thức

$D = left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \ {{a_2}}&{{b_2}} end{array}} right|;{D_x} = left| {begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \ {{c_2}}&{{b_2}} end{array}} right|;{D_y} = left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \ {{a_2}}&{{c_2}} end{array}} right|$

Xét định thức		Kết quả
$D ne 0$		Hệ có nghiệm duy nhất $left( {x = frac{{{D_x}}}{D};y = frac{{{D_y}}}{D}} right)$
D = 0	${D_x} ne 0{text{ hay }}{D_y} ne 0$	Hệ vô nghiệm
	${D_x} = {D_y} = 0$	Hệ vô số nghiệm

E. Giải hệ phương trình đối xứng

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

b) Tính chất: Nếu $left( {{x_0};{y_0}} right)$ là một nghiệm của hệ phương trình thì $left( {{y_0};{x_0}} right)$ cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \ {P = xy} end{array}} right.;left( {{S^2} geqslant 4P} right)$ ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

Hướng dẫn giải

Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \ {P = xy} end{array}} right.;left( {{S^2} geqslant 4P} right)$ hệ phương trình đã cho trở thành

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {S + 2P = 2} \ {Sleft( {{S^2} - 3P} right) = 8} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {P = dfrac{{2 - S}}{2}} \ {Sleft( {{S^2} - dfrac{{6 - 3S}}{2}} right) = 8} end{array}} right. hfill \ Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 hfill \ Rightarrow left( {S - 2} right)left( {2{S^2} + 7S + 8} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P = 0 hfill \ end{matrix}$

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

${X^2} - 2X = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {X = 0} \ {X = 2} end{array}} right.$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 1, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.

b) Tính chất: Nếu $left( {{x_0};{y_0}} right)$ là một nghiệm của hệ phương trình thì $left( {{y_0};{x_0}} right)$ cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

$left( {x - y} right)left[ {fleft( {x;y} right)} right] = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x - y = 0} \ {fleft( {x;y} right) = 0} end{array}} right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x geqslant - frac{1}{2};y geqslant - frac{1}{2}$

Ta kiểm tra được $x = y = - frac{1}{2}$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp $x + y ne - 1$ . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

$begin{matrix} {x^3} + 3x - 1 + sqrt {2x + 1} - left( {{y^3} + 3y - 1 + sqrt {2y - 1} } right) = y - x hfill \ Leftrightarrow left( {x - y} right)left[ {{x^2} + xy + {y^2}} right] + 4left( {x - y} right) + dfrac{{2left( {x - y} right)}}{{sqrt {2x + 1} + sqrt {2y + 1} }} = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {x - y} right)left[ {{x^2} + xy + {y^2} + 4 + dfrac{2}{{sqrt {2x + 1} + sqrt {2y + 1} }}} right] = 0 hfill \ Leftrightarrow x = y hfill \ end{matrix}$

Khi x = y xét phương trình

$begin{matrix} {x^3} + 2x - 1 + sqrt {2x + 1} = 0 hfill \ Leftrightarrow xleft( {{x^2} + 1} right) + dfrac{{2x}}{{sqrt {2x + 1} + 1}} = 0 hfill \ Leftrightarrow xleft[ {{x^2} + 1 + dfrac{2}{{sqrt {2x + 1} + 1}}} right] = 0 hfill \ Leftrightarrow x = 0 hfill \ end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 2, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

F. Giải hệ phương trình đẳng cấp

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n

${a_1}{x^m} + {a_k}{x^{n - k}}{y^k} + .... + {a_n}{y^n} = 0$

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y = 0 thay vào để tìm x

y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình ${a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}} + .... + {a_n} = 0$

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: ${x^2}y + 2y geqslant 0 Rightarrow y geqslant 0$

Từ phương trình thứ nhất ta có:

xy = -x² – x – 3

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$begin{matrix} {left( {x + 1} right)^2} + 3left( {y + 1} right) - 2{x^2} - 2x - 6 - 2sqrt {yleft( {{x^2} + 2} right)} = 0 hfill \ Rightarrow {x^2} + 2 - 3y + 2sqrt {yleft( {{x^2} + 2} right)} = 0 hfill \ end{matrix}$

Đây là phương trình đẳng cấp đối với $sqrt y ;sqrt {{x^2} + 2}$

Đặt $sqrt y = tsqrt {{x^2} + 2}$ phương trình trở thành $3{t^2} - 2t - 1 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1left( {tm} right)} \ {t = - dfrac{1}{3}left( L right)} end{array}} right.$

Với t = 1 ta có y = x² + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta thu được x = -1 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -3)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đẳng cấp, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp

Tài liệu liên quan:

Trục căn thức ở mẫu Toán 9
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên

—————————————————–

Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m². Tìm diện tích vườn lúc đầu.
Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. $widehat {ABD} = widehat {ACD}$ c. CA là tia phân giác của góc SCB.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi