Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

By Chán Vkl On Feb 7, 2023

Contents

thuthuat.tip.edu.vn mời các bạn cùng tham khảo nội dung lý thuyết Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức trọng tâm bài học cũng như áp dụng vào giải toán 10.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ${{Delta _1}}$ và ${{Delta _2}}$ lần lượtcó các vectơ chỉ phương $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}}$ ta có:

+ ${{Delta _1}}$ cắt ${{Delta _2}}$ khi và chỉ khi $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

+ ${{Delta _1}}$ song song ${{Delta _2}}$ khi và chỉ khi $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

+ ${{Delta _1}}$ trùng với ${{Delta _2}}$ khi và chỉ khi $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $Delta :x - sqrt 2 y + 4sqrt 3 = 0$ và mỗi đường thẳng sau:

$begin{array}{l} {Delta _1}:sqrt 3 x - sqrt 6 y + 12 = 0;\ {Delta _2}:sqrt 2 x - 2y = 0. end{array}$

Giải

Vì $begin{array}{l} x - sqrt 2 y + 4sqrt 3 = 0 Leftrightarrow sqrt 3 left( {x - sqrt 2 y + 4sqrt 3 } right) = 0\ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Leftrightarrow sqrt 3 x - sqrt 6 y + 12 = 0. end{array}$

Vậy ${{Delta}}$ và ${{Delta _1}}$ là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng ${{Delta}}$ và ${{Delta _2}}$ có hai vectơ pháp tuyến $overrightarrow n left( {1; - sqrt 2 } right)$ và $overrightarrow {{n_2}} left( {sqrt 2 ; - 2} right)$ cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng ${{Delta _2}}$ nhưng không thuộc đường thẳng ${{Delta}}$ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy ${{Delta}}$ và ${{Delta _2}}$ song song với nhau.

2. Góc giữa hai đường thẳng

– Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

– Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

– Cho hai đường thẳng

${Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ .

Với các vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_1}} left( {{a_1};{b_1}} right)$ và $overrightarrow {{n_2}} left( {{a_2};{b_2}} right)$ trong ứng. Khi đó, góc varphi giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức

$cosvarphi = left| {cosleft( {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} right|}}{{sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$

Chú ý

+ ${Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow overrightarrow {{n_1}} bot overrightarrow {{n_2}} Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0.$

+ Nếu ${Delta _1},{Delta _2}$ có các vectơ chỉ phương $overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}}$ thì góc $varphi$ giữa ${{Delta _1}}$ Và ${{Delta _2}}$ cũng được xác định thông qua công thứ $cosvarphi = left| {cosleft( {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right)} right|$

Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng

${Delta _1}:sqrt 3 x - y + 2 = 0$ và ${Delta _2}:x - sqrt 3 y - 2 = 0.$

Giải

Vectơ pháp tuyến của ${{Delta _1}}$ là $overrightarrow {{n_1}} = left( {sqrt 3 ; - 1} right)$ , của ${{Delta _2}}$ là $overrightarrow {{n_2}} = left( {1; - sqrt 3 } right).$

Gọi $varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${{Delta _1}}$ và ${{Delta _2}}$ . Ta có

$cosvarphi = left| {cosleft( {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {sqrt 3 .1 + left( { - 1} right).left( { - sqrt 3 } right)} right|}}{{sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {{left( { - 1} right)}^2}} .sqrt {{1^2} + {{left( { - sqrt 3 } right)}^2}} }} = frac{{sqrt 3 }}{2}.$

Do đó, góc giữa ${{Delta _1}}$ và ${{Delta _2}}$ là $varphi = {30^0}$ .

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ và đường thẳng $Delta$ :ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Delta$ , kí hiệu là $dleft( {M,Delta } right)$ , được tính bởi công thức

$dleft( {M,Delta } right) = frac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng $Delta$ :3x + 4y – 12 = 0.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Delta$ , ta có

$dleft( {M,Delta } right) = frac{{left| {3.2 + 4.4 - 12} right|}}{{sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = frac{{10}}{5} = 2$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Delta$ là 2.

>>>> Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chương 7 Cánh Diều 10 tập 2 do thuthuat.tip.edu.vn tổng hợp và đăng tải nhằm giúp các em nắm chắc kiến thức, từ đó áp dụng vào giải các bài tập Toán 10 đạt kết quả tốt. Tại chuyên mục Lý thuyết Toán 10 CD có đầy đủ các các bài học chia theo từng chương bám sát chương trình học SGK Cánh diều 10 đồng thời tại chuyên mục Giải Toán 10 Cánh Diều Tập 2 có đầy đủ các bài tập do thuthuat.tip.edu.vn biên soạn để giúp bạn ôn luyện tại nhà.

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi