Tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến

By Chán Vkl On Nov 26, 2022

Tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến toán 8 đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về tìm gtln,gtnn. Tài liệu bao gồm các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề GTLN, GTNN Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

I. Cách tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến

Biểu thức có dạng: $Fleft( {x;y} right) = a,{x^2} + b{y^2} + cxy + dx + ey + h$

– Bước 1: Phân tích biểu thức F(x) thành bình phương của 1 tổng hoặc hiệu

– Bước 2: Sử dụng tính chất bình phương của 1 tổng hoặc hiệu luôn lớn hơn hoặc bằng 0 để nhận xét và đánh giá

– Bước 3: Tìm giá trị của x để xảy ra biểu thức F (x) = 0

– Bước 4: Kết luận GTLN, GTNN

II. Bài tập tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến

Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:

1. ${x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4y + 8$

2. $2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + 8$

3. ${x^2} + 2{y^2} + 2xy + 2x - 4y + 2022$

Hướng dẫn giải

1. ${x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4y + 8 = {x^2} + {y^2} - 2xy + {y^2} - 4y + 4 + 4 = {left( {x - y} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + 4$

Ta có:

$begin{array}{l} {left( {x - y} right)^2} ge 0\ {left( {y - 2} right)^2} ge 0\ {left( {x - y} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + 4 ge 4 end{array}$

Dấu “ =” xảy ra khi: $left{ begin{array}{l} x - y = 0\ y - 2 = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 2$

Vậy biểu thức có GTNN là 4 khi x = y =2

2. $2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + 8 = {x^2} + {y^2} - 2xy + {x^2} - 2x + 1 + 7 = {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 7$

Ta có:

$begin{array}{l} {left( {x - y} right)^2} ge 0\ {left( {x - 1} right)^2} ge 0\ {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 7 ge 7 end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi: $left{ begin{array}{l} x - y = 0\ x - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1$

Vậy biểu thức của GTNN là 7 khi x = y = 1

$begin{array}{l} {x^2} + 2{y^2} + 2xy + 2x - 4y + 2022 = {x^2} + {y^2} + 2xy + 2x - 2y + 1 + {y^2} - 2y + 1 + 2020\ = {left( {x + y - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + 2020 end{array}$

Ta có:

$begin{array}{l} {left( {x + y - 1} right)^2} ge 0\ {left( {y - 1} right)^2} ge 0\ {left( {x + y - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + 2020 ge 2020 end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi: $left{ begin{array}{l} x + y - 1 = 0\ y - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 0\ y = 1 end{array} right.$

Vậy GTNN của biểu thức là 2020 khi x =0 và y = 1

———————————————————

Hi vọng Chuyên đề tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến toán 8 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện cho các kì thi sắp tới. Chúc các bạn học tốt!

Xem thêm nhiều bài hơn tại : Đề Thi